Question

已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE；∠DAB=∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點.

（1）探索發(fā)現(xiàn)：

     如圖1，若∠DAB=60°，則∠AFG=      ； 如圖2，若∠DAB=90°，則∠AFG=      ；

（2）探究證明：如圖3，若∠DAB=，試探究∠AFG與的數(shù)量關(guān)系？并給予證明；

（3）動手實踐：

如果∠ACB為銳角，AB≠AC，∠BAC≠90°，點M在線段BC上運動，連接AM，以AM為一邊，以點A為直角頂點，且在AM的右側(cè)作等腰直角△AMN，連接NC；試探究：若NC⊥BC（點C、M重合除外），則∠ACB等于多少度？請同學(xué)們自己動手畫出相應(yīng)圖形，并說明理由.（畫圖不寫作法）

Answer 1

解：（1）60°，45°；

（2）解：連接AG

∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAC=∠BAE.

又AD=AB，AC=AE，

∴△ADC≌△ABE（SAS）

∴∠1=∠2.

又，，于是DG=BF.且AD=AB，

∴△ADG≌△ABF（SAS）

∴AG=AF且∠DAG=∠BAF，于是易得∠GAF=∠DAB=.

也就是說△AGF為頂角為的等腰三角形，

∴∠AFG=.

          (3)簡易畫圖步驟：1.先畫等腰直角三角形AMN；

2.找個點C，使得CM⊥CN；

3.在CM延長線上任取一點B，連接AB，AC.(作圖不計分)

解：過點A作AC的垂線交BC于點G

由于∠1與∠2均與∠MAC互余，∴∠1=∠2.

由于∠3與∠4均與∠ACM互余，∴∠3=∠4.

又AM=AN，∴△AMG≌△ANC（AAS）.

∴AG=AC.又AG⊥AC，

∴△AGC為等腰直角三角形.

∴∠ACB=∠ACG=45°.