Question

【題目】（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與⊙M相交于A、B、C、D四點(diǎn)．其中AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，-2），點(diǎn)D在軸上且AD為⊙M的直徑．點(diǎn)E是⊙M與軸的另一個交點(diǎn)，過劣弧上的點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，且FH=1．5．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P是軸上的一個動點(diǎn)，試求出⊿PEF的周長最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），；（2）P（2，0）；

（3）Q（，），Q（，-），Q（，-4），∴Q（，-）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式（半徑相等）可以求得，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），這樣就可以根據(jù)交點(diǎn)式來求解拋物線的解析式：=；

（2）要在軸上的找到一點(diǎn)P，使得⊿PEF的周長最小，我們先來看E，F兩點(diǎn)，這是兩個定點(diǎn)，也就是說EF的長度是不變的，那實(shí)際上這個題目就是求PE+PF的最小值，這就變成了軸對稱問題中最為經(jīng)典的“放羊問題”，要解決這一問題首先我們看圖中有沒有E或F的對稱點(diǎn)，根據(jù)題意，顯然是有E點(diǎn)的對稱點(diǎn)B的，那么連接BF與軸的交點(diǎn)就是我們要求的點(diǎn)P（2，0）；

（3）首先點(diǎn)M本身就在拋物線對稱軸上，其坐標(biāo)為；點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，-2）；求Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可設(shè)Q點(diǎn)為（）．⊿QCM是等腰三角形，則可能有三種情況，分別是QC=MC；QM=MC；QC=QM．根據(jù)這三種情況就能求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)可能是或或．

試題解析：（1）∵A（-1，0），B（0，-2）

∴OE=OB=2，OA=1，

∵AD是⊙M的直徑，

∴OE·OB=OA·OD，

即：2=1·OD，OD=4，

∴D（4，0），

把A（-1，0），B（0，-2），D（4，0）代入得：

，即

該拋物線的表達(dá)式為：．

連接AF，DF，

∵FH⊥AD于點(diǎn)H，AD為直徑

∴△AFH∽△FDH，

∴HF=DH·AH，

∵E點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O對稱，

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，連接BF交x軸于點(diǎn)P，

∵A（-1，0），D（4，0），

∴AD=5，

設(shè)DH=x，則AH=5-x，

即1．5=x（5-x），

5x-x=，

4x-20x+9=0，

（2x-1）（2x-9）=0，

由AH＞DH，

∴DH=，

∴OH=OD-DH=，

∴F（3．5，1．5），

設(shè)直線BF的解析式為，

則3．5k+b=1．5；b=-2，

則k=1，b=-2，

∴y=x-2，

令y=0，則x=-2，

∴P（2，0）

（3）Q（，），Q（，-），Q（，-4），∴Q（，-）．