Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以邊上AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D，并與邊AC相交于另一點(diǎn)F．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若AB= ，E是半圓 上一動點(diǎn)，連接AE，AD，DE． 填空：
①當(dāng) 的長度是時，四邊形ABDE是菱形；
②當(dāng) 的長度是時，△ADE是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，

∴AB= BC，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD= BC，

∴AB=BD，

∴∠BAD=∠BDA，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODB=∠BAO=90°，

即OD⊥BC，

∴BD是⊙O的切線．

（2） π； π或π
【解析】（2）①當(dāng)DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形； 如圖2，設(shè)DE交AC于點(diǎn)M，連接OE，則DE=2DM，

∵∠C=30°，
∴CD=2DM，∴DE=CD=AB= BC，
∵∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵AB=BD，
∴四邊形ABDE是菱形；
∵AD=BD=AB=CD= BC= ，
∴△ABD是等邊三角形，OD=CDtan30°=1，
∴∠ADB=60°，
∵∠CDE=90°﹣∠C=60°，
∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴ 的長度為： = π；
故答案為： ；
②若∠ADE=90°，則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時 的長度為： =π；
若∠DAE=90°，則DE是直徑，則∠AOE=2∠ADO=60°，此時 的長度為： = π；
∵AD不是直徑，
∴∠AED≠90°；
綜上可得：當(dāng) 的長度是 π或π時，△ADE是直角三角形．
故答案為： π或π．
（1）首先連接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D，易得AB=BD，繼而證得∠ODB=∠BAC=90°，即可證得結(jié)論；（2）①易得當(dāng)DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度數(shù)，半徑OD的長，則可求得答案；②分別從∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．