Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)M（，n），點(diǎn)N（，n），交y軸于點(diǎn)A．

（1）求a，b滿足的關(guān)系式；

（2）若拋物線上始終存在不重合的P，Q兩點(diǎn)（P在Q的左邊）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

①求a的取值范圍；

②若點(diǎn)A，P，Q三點(diǎn)到直線l:的距離相等，求線段PQ長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①,②

【解析】

（1）根據(jù)M、N的坐標(biāo)確定二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸=，然后用a表示b即可；

（2）①設(shè)，則，將P，Q兩點(diǎn)代入表達(dá)式得到并求解即可確定a的取值范圍內(nèi)；②先說明B為OA中點(diǎn)，再分別作PD⊥l于D點(diǎn)，QE⊥l于E點(diǎn)；然后就P、Q在直線l異側(cè)和同側(cè)兩種情況解答即可．

解：（1）∵函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)M（，n），點(diǎn)N（，n）

則該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線

∴

∴；

（2）①設(shè)，則，將P，Q兩點(diǎn)代入表達(dá)式有：

由①+②得：③

∵始終存在，故方程③始終有解，

∴，可得：

②∵，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∵設(shè)直線交y軸于點(diǎn)B，則B點(diǎn)坐標(biāo)為

∴B為OA中點(diǎn)．

分別作PD⊥l/span>于D點(diǎn)，QE⊥l于E點(diǎn)．

若P，Q位于直線l異側(cè)，如圖1，連接PQ，交直線l于C點(diǎn)．

由已知得PD=QE，

又∵∠PDC=∠QEC=90°，∠PCD=∠QCE，

∴△PDC≌△QEC

∴CP=CQ

∴C為PQ的中點(diǎn)，

∵O為PQ中點(diǎn)，但直線l并沒有經(jīng)過點(diǎn)O，

∴不存在這種情況．

若P，Q位于直線l同側(cè)，由PD=QE得PQ∥l．

又∵PQ經(jīng)過原點(diǎn)O，

∴直線PQ的表達(dá)式為：．

∴．

由①知道：

則有：

解得：．

∵

∴．

解得：．

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．