【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線x軸交于A、B兩點(A在點B左側),與y軸交于點C,OB=1,∠OBC=60°

1)如圖1,求直線BC的解析式;

2)如圖1,線段AC上方拋物線上有一動點P,PDx軸于點H,交線段AC于點D,直線BGAC,交拋物線于點G,點F是直線BC上一動點,FEBCAC于點E,點Q是點A關于直線BG的對稱點,連接PE、QF.當線段PD取最大值時,求PE+EF+QF的最小值及點E的坐標;

3)如圖2,將BOC繞點O逆時針旋轉至B′O C′的位置,點B、C的對應點分別為點B′、C′,點B′恰好落在BC上.將B′O C′沿直線AC平移,得到B′′O ′ C′′,點B′、C′O的對應點分別為點B′′、C′′、O ′,連接B ′ B′′、B ′C′′B ′B′′C′′是否能為等腰三角形?若能,請直接寫出所有符合條件的C′′的坐標;若不能,請說明理由.

【答案】1;(2PE+EF+QF最小值為 +2, E點坐標;(3)能,,,

【解析】

1)利用三角函數(shù)求出OC的長得到拋物線的解析式,求出圖象與x軸的交點,設直線BC解析式為:,即可將點B、C的坐標代入求出答案;

2)先求出直線AC的解析式,設點P、D的坐標,根據(jù)PD最大求得點P的坐標,利用勾股定理的逆定理及對稱性得到△ABQ是等邊三角形,過點QQMx軸于點M,求出點Q的坐標,根據(jù)平移規(guī)律得到Q ′的坐標,連接P Q ′AC于點E,再利用勾股定理求出, 得到PE+EF+QF最小值= P Q ′+EF,由此求出答案;

3)根據(jù)點的位置分四種情況進行求解:①當=時,②當=時,③當時,④當時,分別求出點C′′的坐標.

1)在BOC 中,OB=1,∠OBC=60°

BC=2,OC=

∴拋物線解析式為:

y=0,得

解之得 , ,

A(30),B1,0),C0,),

設直線BC解析式為:,經(jīng)過B1,0),C0),

,

,

;

2)設直線AC解析式為:,經(jīng)過A(30),B1,0),得,

P點坐標為,則D點坐標為,

PD=

時,PD有最大值,

P點坐標為,

RAOC中,可以求出AC=2,AB=4

AC2+BC2=12+4=16=AB2

由勾股定理逆定理得,可得∠ACB=90°,

可得∠CAB=30°=ABG,

由對稱可得,AB=BQ=4, ABQ=30°+30°=60°,

ABQ是等邊三角形,

過點QQMx軸于點M,

MB=4,OB=1

OM=1,QM=2

Q點坐標為(-1,-2

由題意得,四邊形BCEF是矩形,可得EF=BC=2

Q點沿射線EF方向平移2個單位(向左平移1個單位,向上平移個單位),可得Q ′的坐標為(-2,-

連接P Q ′AC于點E,點E即為所求,

P Q ′=

PE+EF+QF最小值= P Q ′+EF= +2,

直線P Q的解析式為:

聯(lián)立,可得E點坐標

3)存在,

A(3,0),B1,0),C0,),

OA=3,OB=1,OC=

,,

∴∠ACB=90°,

∴∠CAB=30°,AC=2,

∴,

由旋轉得到,

,=,

∴四邊形是平行四邊形,

①將三角形向上平移,當=時,如圖1,延長y軸于D,

∴四邊形是菱形,

,

,

,

,

,

OD=OC+CD=,

;

②將三角形向下平移,當=時,如圖2,則四邊形是菱形,

過點,

,

=1,

∴點的橫坐標是,縱坐標是

∴點的坐標是;

③當時,如圖3,

,

∵∠ACB=90°,

,

延長y軸于D,

,

,,

OD=OC+CD=,

∴點的坐標是;

④當時,如圖4,過點,

,

,

∴點的橫坐標是,縱坐標是,

∴點的坐標是

綜上,點的坐標是,,,.

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