Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A、B的坐標分別為（4，0），（2，-6），將△OAB繞AB的中點旋轉(zhuǎn)180°，點O落到點C的位置，拋物線經(jīng)過點O、A、C，點D是該拋物線的頂點．
（1）求點C的坐標及拋物線的關系式．
（2）若點P是線段OA上一點，且PD∥AC，求點P的坐標．
（3）若點P是x軸上一點，以P、A、D為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點在y軸上，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求點C的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的關系式．
（2）先根據(jù)（1）的拋物線的解析式求出頂點D的坐標，然后求出直線AC的解析式，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線PD的解析式，進一步得到點P的坐標．
（3）①Q(mào)₁D=AP₁=2，可得OP₁=OA-2=2，從而得到P₁點的坐標；
②OP₂=OA+AP₂=6，從而得到P₂點的坐標；
③D，Q₃兩點的縱坐標互為相反數(shù)，因此Q₃點的坐標為（0，-2），根據(jù)A，D的坐標可求出P₃點的坐標．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點C的坐標為（6，-6），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過點O（0，0）、A（4，0）、C（6，-6），則

c=0 16a+4b+c=0 36a+6b+c=-6

，
解得

a=- 1 2 b=2 c=0

．
拋物線解析式為y=-

1

2

x²+2x．

（2）∵y=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x-2）²+2，
∴頂點D的坐標為（2，2），
設直線AC的解析式為y=kx+b₁，則

4k+b1=0 6k+b1=-6

，
解得

k=-3 b1=12

．
故直線AC的解析式為y=-3x+12．
∵PD∥AC，
∴設直線PD的解析式為y=-3x+b₂，
∴-3×2+b₂=2，
解得b₂=8．
故直線PD的解析式為y=-3x+8．
當y=0時，x=

8

3

，
則點P的坐標為（

8

3

，0）．


（3）

分三種情況進行討論：
①Q(mào)₁D=AP₁=2，因此OP₁=OA-2=2，P₁點的坐標為（2，0）；
②OP₂=OA+AP₂=6，P點的坐標為（6，0）；
③D，Q₃兩點的縱坐標互為相反數(shù)，因此Q₃點的坐標為（0，-2），根據(jù)A，D的坐標可求出P₃點的坐標為（-2，0）．
綜上所述，共有3個符合條件的P點的坐標，即P₁（2，0），P₂（6，0），P₃（-2，0）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的判定等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．