Question

已知：如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點(diǎn)A，與直線y=

3

x相交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．并判斷△OAB的形狀．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著O→B→A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)（E不與點(diǎn)O、A重合），過點(diǎn)P分別作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，矩形EPFO與△OAB重疊部分的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，其最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）對(duì)于直線y=-

3

x+4

3

，令y=0求出x的值，確定出A坐標(biāo)，得到OA的長(zhǎng)，聯(lián)立兩直線解析式求出交點(diǎn)B坐標(biāo)，過B作BM垂直于OA，確定出BM與OM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，同理求出AB的長(zhǎng)，即可確定出三角形OAB形狀；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)P在線段OB上，如圖1所示，矩形與三角形重疊部分為三角形OPE，求出三角形OPE面積即可得到結(jié)果；當(dāng)P在線段AB上，如圖2所示，重疊部分面積為矩形面積減去三角形OFN面積，列出S關(guān)于t的解析式即可；
（3）根據(jù)t的范圍，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可確定出S最大值，以及此時(shí)t的值．

解答：解：（1）過B作BM⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，
對(duì)于直線y=-

3

x+4

3

，令y=0，得到x=4，即A=（4，0），
聯(lián)立得：

y=- 3 x+4 3 y= 3 x

，
消去y得：-

3

x+4

3

=

3

x，
解得：x=2，
將x=2代入得：y=2

3

，
∴OM=2，BM=2

3

，即B（2，2

3

）；
根據(jù)勾股定理得：OB=

OM2+BM2

=4，
∵AM=OA-OM=4-2=2，BM=2

3

，
∴根據(jù)勾股定理得：AB=

BM2+AM2

=4，
∴OB=AB=OA=4，
則△AOB為等邊三角形；

（2）分兩種情況考慮：
當(dāng)P在線段OB上時(shí)，如圖1所示，根據(jù)題意得：OP=t，
∵△ABO為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
在Rt△OPE中，∠OPE=30°，
∴OE=

1

2

OP=

1

2

t，PE=

OP2-OE2

=

3

2

t，
∴S=S_△OPE=

1

2

OE•PE=

3

8

t²（0≤t≤4）；
當(dāng)P在線段AB上時(shí)，如圖2所示，根據(jù)題意得：OB+BP=t，
∴AP=8-t，
∵△AOB為等邊三角形，∴∠BAO=60°，
在Rt△AEP中，∠APE=30°，
∴AE=

1

2

AP=

1

2

（8-t），PE=OF=

AP2-AE2

=

3

2

（8-t），
∴OE=OA-AE=4-

1

2

（8-t）=

1

2

t，
在Rt△OFN中，∠FON=30°，
∴tan30°=

FN

OF

，即FN=

3

3

×

3

2

（8-t）=

1

2

（8-t），
∴S=S_矩形PEOF-S_△OFN=PE•OE-

1

2

FN•OF=

3

4

t（8-t）-

1

4

（8-t）•

3

2

（8-t）=-

3 3

8

t²+4

3

t-8

3

（4＜t＜8）；

（3）S=

3

8

t²（0≤t≤4），當(dāng)t=4時(shí)，S_max=2

3

；
S=-

3 3

8

t²+4

3

t-8

3

（4＜t＜8），當(dāng)t=-

4 3

2×(- 3 3 8 )

=

16

3

時(shí)，S_max=

8 3

3

，
∵

8 3

3

＞2

3

，
∴當(dāng)t=

16

3

時(shí)，S最大值為

8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩直線的交點(diǎn)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題第二問的關(guān)鍵．