Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有兩個不等的實根為x₁和x₂；
（1）求k的取值范圍．
（2）若

1

x1

+

1

x2

=-

16

17

，求k的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,根的判別式

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)根的判別式的意義得到△=（2k+1）²-4（k²-2）＞0，然后解不等式得到k的范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²-2，再把

1

x1

+

1

x2

=-

16

17

變形得到

x1+x2

x1x2

=-

16

17

，所以

2k+1

k2-2

=-

16

17

，然后解方程得k₁=

3

8

，k₂=-

5

2

，再根據(jù)（1）的范圍確定k的值．

解答：解：（1）依題意得△=（2k+1）²-4（k²-2）＞0，
解得k＞-

9

4

；

（2）依題意得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²-2，
∵

1

x1

+

1

x2

=-

16

17

，
∴

x1+x2

x1x2

=-

16

17

，
∴

2k+1

k2-2

=-

16

17

，
整理為16k²+34k-15=0，解得k₁=

3

8

，k₂=-

5

2

，
∵k＞-

9

4

，
∴k=

3

8

．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．