Question

據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，一臺(tái)風(fēng)中心位于某沿海城市A東偏南θ（cosθ=

2

10

）方向300km的海面B處，正以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)（如圖所示），臺(tái)風(fēng)影響的范圍為圓形區(qū)域，半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大．求幾小時(shí)后該市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的影響，受影響的時(shí)間是多長(zhǎng)？

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題

專題：

分析：建立坐標(biāo)系，設(shè)在時(shí)刻：t（h）臺(tái)風(fēng)中心B（x，y）的坐標(biāo)進(jìn)而可知此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域，根據(jù)題意可知其中r（t）=10t+60，若在t時(shí)，該城市A受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有（0-x）²+（0-y）²≤（10t+60）²，進(jìn)而可得關(guān)于t的一元二次不等式，求得t的范圍，答案可得．

解答：解：如圖：以A為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向．
∵cosθ=

2

10

，∴sin（90°-θ）=

2

10

，
cos（90°-θ）=

7 2

10

，
在時(shí)刻：t（h）臺(tái)風(fēng)中心B（x，y）的坐標(biāo)為
x=300×

2

10

-20×

2

2

t，y=-300×

7 2

10

+20×

2

2

t
令（x′，y′）是臺(tái)風(fēng)邊緣線上一點(diǎn)，則此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是（x′-x）²+（y′-y）²≤[r（t）]²，
其中r（t）=10t+60，
若在t時(shí)，該城市受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，
則有（0-x）²+（0-y）²≤（10t+60）²，
即（300×

2

10

-20×

2

2

t）²+-300×

7 2

10

+20×

2

2

t）²≤（10t+60）²，
即t²-36t+288≤0，
解得12≤t≤24．
答：12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)氣侵襲，受到臺(tái)風(fēng)的侵襲的時(shí)間有12小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用，考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．