Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2．
（1）求證：△BDE≌△BCF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）試探究△DEF的周長(zhǎng)是否存在最小值．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出△DEF周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先判定△ABD與△BCD都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“邊邊角”證明兩三角形全等；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=CF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定得解，利用旋轉(zhuǎn)變換解答；
（3）根據(jù)EF的最小值為點(diǎn)B到AD的距離

3

，即EF的最小值是

3

，即可求出△DEF的周長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線BD=2，
∴AB=AD=BD=2，BC=CD=BD=2，
∴△ABD與△BCD都是等邊三角形，
∴∠BDE=∠C=60°，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE，
又∵DE=AD-AE=2-AE，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，

DE=CF ∠BDE=∠C=60° BD=BC

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF是等邊三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠DBE=∠CBF，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°，
∴△BEF是等邊三角形，
由圖可知，△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△BCF；

（3）解：如圖所示：

當(dāng)BE⊥AD時(shí)，△DEF的周長(zhǎng)最小，
∵△BDE≌△BCF，
∴DE=FC，
∴DE+DF=AD=2，
故當(dāng)△DEF的周長(zhǎng)最小，則EF最小即可，
∵△BEF是等邊三角形，△ABD與△BCD都是等邊三角形，
∴BE=ABsin60°=

3

，
∴△DEF周長(zhǎng)的最小值為：2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)等知識(shí)，根據(jù)題意得出EF最小時(shí)則△DEF的周長(zhǎng)最小得出是解題關(guān)鍵．