Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，－3），點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一動點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q在x軸正半軸上，且∠ADQ＝∠DAC，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，－3）；

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，－2）；

（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求出n，利用對稱性C、D關(guān)于對稱軸對稱即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)．

（2）A，P，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)△PAC的周長最小，求出直線AD的解析式即可解決問題．

（3）分兩種情形①作DQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q，此時(shí)∠DQA=∠DAC，滿足條件．②設(shè)線段AD的垂直平分線交AC于E，直線DE與x的交點(diǎn)為Q′，此時(shí)∠Q′DA=′CAD，滿足條件，分別求解即可．

試題解析：（1）把C(0，3)代入y=(x1)2+n，得3=(01)2+n，

解得n=4，

∴拋物線的解析式為y=(x1)24，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，3).

（2）連接PA、PC、PD，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴PC=PD，

∴AC+PA+PC=AC+PA+PD，

∵AC為定值，PA+PDAD，

∴當(dāng)PA+PC的值最小，即A，P，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)△PAC的周長最小，

由y=(x1)24=0解得：x1=1，x2=3，

∵A在B的左側(cè)，

∴A(1，0)，

由A，D兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線AD的解析式為y=x1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=x1=2，

∴當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)；

（3）如圖中，作DQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q，此時(shí)∠DQA=∠DAC，滿足條件，

∵A(1，0)，C(0，3)，

∴直線AC的解析式為y=3x3，

∴直線QD的解析式為y=3x+3，

令y=0，得x=1，

∴Q(1，0).