Question

已知：如圖（1），在等腰直角△ACD中，∠ACD=90°，直線MN是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，作DB⊥MN，垂足是點(diǎn)B．
（1）求證：BD+AB=

2

CB；
（2）當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）的位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥CB交MN于E，先證△ACE≌△DCB，得出△ECB是等腰直角三角形，進(jìn)而得出BE=

2

CB，又因?yàn)锽E=AE+AB，即可求得．
（2）過點(diǎn)C作CE⊥CB交MN于E，先證△ACE≌△DCB，得出△ECB是等腰直角三角形，進(jìn)而得出BE=

2

CB，又因?yàn)锽E=AB-AE=AB-BD，即可求得．

解答：解：（1）如圖（1），過點(diǎn)C作CE⊥CB交MN于E，
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵四邊形ACDB的內(nèi)角和為360°，
∴∠BCD+∠CAB=180°
∵∠EAC+∠CAB=180°，
∴∠EAC=∠BDC，
在△ACE與△DCB中，

AC=DC ∠EAC=∠BDC ∠BCD=∠ACE

，
∴△ACE≌△DCB（AAS）
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB，
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB，
∴BD+AB=

2

CB．

（2）如圖（2）猜想：AB-BD=

2

CB，
證明：過C點(diǎn)作CE⊥CB交MN于E，
∵∠ACD=90°，∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
在△ACE與△DCB中，

∠BCD=∠ACE ∠CAE=∠D AC=DC

，
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB，
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=

2

CB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和等．