【題目】已知△ABC,分別以BC,AB,AC為邊作等邊三角形BCE,ACF,ABD
(1)若存在四邊形ADEF,判斷它的形狀,并說明理由.
(2)存在四邊形ADEF的條件下,請(qǐng)你給△ABC添個(gè)條件,使得四邊形ADEF成為矩形,并說明理由.
(3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)四邊形ADEF不存在.
【答案】(1)詳見解析;(2)當(dāng)∠BAC=150°時(shí),四邊形ADEF是矩形;(3)這樣的平行四邊形ADEF不總是存在.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=AF,AB=BD,BC=BE,∠EBC=∠ABD=60°,求出∠DBE=∠ABC,根據(jù)SAS推出△DBE≌△ABC,根據(jù)全等得出DE=AC,求出DE=AF,同理AD=EF,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可;
(2)當(dāng)AB=AC時(shí),四邊形ADEF是菱形,根據(jù)菱形的判定推出即可;當(dāng)∠BAC=150°時(shí),四邊形ADEF是矩形,求出∠DAF=90°,根據(jù)矩形的判定推出即可;
(3)這樣的平行四邊形ADEF不總是存在,當(dāng)∠BAC=60°時(shí),此時(shí)四邊形ADEF就不存在.
(1)證明:∵△ABD、△BCE和△ACF是等邊三角形,
∴AC=AF,AB=BD,BC=BE,∠EBC=∠ABD=60°,
∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA,
在△DBE和△ABC中
,
∴△DBE≌△ABC,
∴DE=AC,
∵AC=AF,
∴DE=AF,
同理AD=EF,
∴四邊形ADEF是平行四邊形;
(2)解:當(dāng)∠BAC=150°時(shí),四邊形ADEF是矩形,
理由是:∵△ABD和△ACF是等邊三角形,
∴∠DAB=∠FAC=60°,
∵∠BAC=150°,
∴∠DAF=90°,
∵四邊形ADEF是平行四邊形,
∴四邊形ADEF是矩形;
(3)解:這樣的平行四邊形ADEF不總是存在,
理由是:當(dāng)∠BAC=60°時(shí),∠DAF=180°,
此時(shí)點(diǎn)D、A、F在同一條直線上,此時(shí)四邊形ADEF就不存在.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是線段上一動(dòng)點(diǎn),沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)1次,是線段的中點(diǎn),,設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.
(1)當(dāng)時(shí),求線段和的長(zhǎng)度.
(2)用含的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過程中的長(zhǎng).
(3)在運(yùn)動(dòng)過程中,若中點(diǎn)為,則的長(zhǎng)是否變化?若不變.求出的長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.
(1)求作∠ABC的平分線,分別交AD,AC于P,Q兩點(diǎn);(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)證明AP=AQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,DC=5 cm,在DC上存在一點(diǎn)E,沿直線AE把△AED折疊,使點(diǎn)D恰好落在BC邊上,設(shè)落點(diǎn)為F,若△ABF的面積為30 cm2,求△ADE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且,連接BF.
證明:;
當(dāng)滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是矩形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富校園文化生活,某校計(jì)劃在午間校園廣播臺(tái)播放“百家講壇”的部分內(nèi)容為了了解學(xué)生的喜好,抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(每人只選一項(xiàng)內(nèi)容),整理調(diào)查結(jié)果,繪制統(tǒng)計(jì)圖如下:
請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息回答以下問題:
(1)這一調(diào)查屬于_______(選填“抽樣調(diào)查”或“普查”),抽取的學(xué)生數(shù)為_____名;
(2)估計(jì)喜歡收聽易中天《品三國(guó)》的學(xué)生約占全校學(xué)生的____%(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位);
(3)已知該校女學(xué)生共有1800名,則該校喜歡收聽劉心武評(píng)《紅樓夢(mèng)》的女學(xué)生大約有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)由 5張紙片拼成的平行四邊形,相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙,其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1 ,另兩張直角三角形紙片的面積都為 S2,中間一張正方形紙片的面積為S3,則這個(gè)平行四邊形的面積一定可以表示為( )
A. 4S2B. 4S2+S3C. 3S1+4S3D. 4S1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點(diǎn),連接BM,MN,BN.∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,BN的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( )
①AD是∠BAC的平分線;
②∠ADC=60°;
③點(diǎn)D在AB的中垂線上;
④BD=2CD.
A.4 B.3 C.2 D.1
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