Question

如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點B坐標(biāo)為（6，6），將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連CH、CG．
（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度數(shù)；并判斷線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；
（3）連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點H的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）求證全等，觀察兩個三角形，發(fā)現(xiàn)都有直角，而CG為公共邊，進而再鎖定一條直角邊相等即可，因為其為正方形旋轉(zhuǎn)得到，所以邊都相等，即結(jié)論可證．
（2）上問的結(jié)論，本題一般都要使用才能求出結(jié)果．所以由三角形全等可以得到對應(yīng)邊、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一問的思路你也容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH，也有對應(yīng)邊、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH為

1

2

四角的和，四角恰好組成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．
（3）四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．由上幾問知DG=BG，所以此時同時滿足DG=AG=EG=BG，即四邊形AEBD為矩形．求H點的坐標(biāo)，可以設(shè)其為（x，0），則OH=x，AH=6-x．而BG為AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá)，那么根據(jù)勾股定理可列方程，進而求出x，推得H坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵正方形ABCO繞點C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF
∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中

CD=CB CG=CG

∴△CDG≌△CBG（HL），

（2）解：∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中

CH=CH CO=CD

∴△CHO≌△CHD（HL）
∴∠OCH=∠DCH，OH=DH
∴∠HCG=∠HCD+∠GCD=

1

2

∠OCD+

1

2

∠DCB=

1

2

∠OCB=45°
  HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：四邊形AEBD可為矩形
如圖，

連接BD、DA、AE、EB
因為四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．
因為DG=BG，所以此時同時滿足DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形．
所以當(dāng)G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形．
∵四邊形DAEB為矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
設(shè)H點的坐標(biāo)為（x，0）
則HO=x
∵OH=DH，BG=DG
∴HD=x，DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3，GA=3，HA=6-x
∴（x+3）²=3²+（6-x）²
∴x=2
∴H點的坐標(biāo)為（2，0）．

點評：本題難度不算很高，前兩問屬于常規(guī)題目，考察的是三角形全等的相關(guān)知識．最后一問動點題，做題時一定要先畫適當(dāng)?shù)妮o助線將所問圖象表示出來，這樣思考問題是方向感相對明確些．另多問的題目，前問結(jié)論與后問思路往往有著緊密聯(lián)系，要巧用這個技巧來思考問題，往往事半功倍．