Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，AC=AB，將點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，建立平面直角坐標(biāo)系，AB邊與y軸交于點(diǎn)D，且y軸平分∠AOB．
（1）請(qǐng)直接寫出∠BOD的度數(shù)；
（2）設(shè)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為x，求證OD=2x；
（3）如圖2，△ABC形狀與大小保持不變，將其沿BC所在直線平移，使得點(diǎn)O落在線段BC上，那么（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠ACB=∠ABC=45°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)與弦函數(shù)，可得OD=

AC

cos22.5°

=

AC

sin67.5°

，根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦函數(shù)的2倍角關(guān)系，可得sin67.5°•cos67.5°=

1

2

sin135°，可得答案；
（3）根據(jù)正弦定理，可得

CD

sin45°

=

OB

sin(180°-22.5°-45°)

=

OB

sin67.5°

，根據(jù)與弦函數(shù)，可得x=OB•cos67.5°，根據(jù)正弦定理，可得答案．

解答：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴BC=

2

AC．
∵y軸平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD=22.5°；
（2）證明：∵∠A=90°，∠AOD=22.5°，
∴OD=

AC

cos22.5°

=

AC

sin67.5°

．
∵∠BOD=22.5°，
∴x=BC•cos（90°-22.5°）=BC•cos67.5°，
∴

CD

x

=

AC

BC•sin67.5°•cos67.5

=

1

2 sin135° 2

=2，
即OD=2x．
（3）解：如圖2，△ABC形狀與大小保持不變，將其沿BC所在直線平移，使得點(diǎn)O落在線段BC上，那么（2）中的結(jié)論仍成立，理由如下：
∵平移不改變圖形的形狀，
∴∠BOD=22.5°，∠ABC=45°，根據(jù)正弦定理，得

CD

sin45°

=

OB

sin(180°-22.5°-45°)

=

OB

sin67.5°

，
CD=

OB•sin45°

sin67.5°

．
∵點(diǎn)B橫坐標(biāo)為x，∠BOD=22.5°，
∴x=OB•cos（90°-22.5°）=OB•cos67.5°，
∴

CD

x

=

OBsin45° sin67.5°

OB•cos67.5°

=

sin45°

sin67.5°•cos67.5°

=

1

2 sin135° 2

=2，
即OD=2x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，利用了角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正弦定理，正弦的2倍角關(guān)系，題目稍有難度．