Question

在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB所對(duì)的b、c滿足：b²+c²-2（b+c）+2=0．
（1）試證：△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形；
（2）若b、c兩邊上的中線BD、CE交于點(diǎn)O，求OD：OB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì),因式分解的應(yīng)用,含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）由b²+c²-2（b+c）+2=0，可以判定b=c，∠A=60°可以確定△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形；
（2）連接DE，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB邊上的中點(diǎn)，所以DE∥BC，DE=

1

2

BC，∴△DEO∽△BOC，即可得到答案．

解答：解：（1）∵b²+c²-2（b+c）+2=0，
∴（b-1）²+（c-1）²=0，
∴b=c=1，
又∵∠A=60°，
所以△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形；
（2）連接DE，
∵點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB邊上的中點(diǎn)，
所以DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∵DE∥BC，
∴△DEO∽△BOC，
∴

DE

BC

=

OD

OB

=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查因式分解的應(yīng)用以及相似三角形的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)在在于熟記公式的轉(zhuǎn)化和相似三角形的判定方法和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．