Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是菱形，頂點A，C，D均在坐標系軸上，且點A的坐標為（-2，0），點D的坐標為（3，0）．過點A，C，D的拋物線為y₁=ax²+bx+c，
（1）求拋物線y₁=ax²+bx+c的函數(shù)表達式；
（2）直線AB的表達式為y₂=mx+n，且AB與y₁的另一個交點為E，求當y₁＜y₂時，自變量x的取值范圍；
（3）拋物線y₁=ax²+bx+c的頂點為Q，在直線AE的下方，點P為拋物線上的一個動點，當S_△AQE=S_△APE時，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由y₁=ax²+bx+c得出C點坐標為（0，c），根據(jù)DC=AD=5列出方程求出c的值，得到C點坐標，將A、C、D三點坐標代入y₁=ax²+bx+c，通過待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；
（2）首先由A、B的坐標確定直線AB的解析式，再求出直線AB與拋物線解析式的兩個交點，然后通過觀察圖象找出拋物線y₁在直線y₂圖象下方時對應的自變量x的取值范圍；
（3）當S_△AQE=S_△APE時，根據(jù)三角形的面積公式可知點P為經過點Q且與直線AB平行的直線上與拋物線的交點．

解答：解：（1）∵拋物線y₁=ax²+bx+c過y軸上的點C，
∴C點坐標為（0，c）．
∵四邊形ABCD是菱形，點A（-2，0），點D（3，0），
∴DC=AD=5，
∴3²+c²=5²，
∴c=±4（負值舍去），
∴C（0，-4）．
∵拋物線y₁=ax²+bx+c過點A，C，D，
∴

4a-2b+c=0 c=-4 9a+3b+c=0

，
解得

a= 2 3 b=- 2 3 c=-4

．
∴拋物線的函數(shù)表達式為y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AD=5，BC∥AD，
∵C（0，-4），
∴B（-5，-4）．
將A（-2，0）、B（-5，-4）代入y₂=mx+n，
得

-2m+n=0 -5m+n=-4

，
解得

m= 4 3 n= 8 3

．
∴直線AB的解析式為y₂=

4

3

x+

8

3

．
由（1）得：y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4．
則

y= 2 3 x2- 2 3 x-4 y= 4 3 x+ 8 3

，
解得：

x1=-2 y1=0

，

x2=5 y2= 28 3

，
由圖可知：當y₁＜y₂時，-2＜x＜5；

（3）設經過點Q且與直線AB平行的直線為y=

4

3

x+t．
∵y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4=

2

3

（x²-x+

1

4

）-

1

6

-4=

2

3

（x-

1

2

）²-

25

6

，
∴頂點Q的坐標為（

1

2

，-

25

6

）．
將Q（

1

2

，-

25

6

）代入y=

4

3

x+t，得

4

3

×

1

2

+t=-

25

6

，
解得t=-

29

6

，
∴y=

4

3

x-

29

6

．
由

y= 4 3 x- 29 6 y= 2 3 x2- 2 3 x-4

，
解得

x1= 1 2 y1=- 25 6

，

x2= 5 2 y2=- 3 2

，
∴點P的坐標為（

5

2

，-

3

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，菱形的性質，三角形的面積，兩函數(shù)交點坐標的求法．綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結合、方程思想是解題的關鍵．