Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為A（-3，2），與x軸相交于點C（-2，0），過點C畫CB⊥AC交y軸于點B，連結AB得△ABC
（1）求拋物線的解析式；
（2）求出點B的坐標；（提示：作拋物線的對稱軸）
（3）將△ABC沿x軸正方向平移后得到△A′B′C′，點A′、B′恰好落在雙曲線上，求該雙曲線的解析式和平移的距離．

Answer 1

（1）設拋物線解析式為y=a（x+3）²+2，
將C（-2，0）代入得：a+2=0，即a=-2，
則拋物線解析式為y=-2（x+3）²+2=-2x²-12x-16；

（2）作出拋物線的對稱軸，與x軸交于D點，可得AD⊥x軸，
∵A（-3，2），C（-2，0），
∴AD=OC=2，OD=3，CD=OD-OC=3-2=1，
∵CB⊥AC，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCO=∠CAD，
在△ACD和△BCO中，

∠ADC=∠COB=90° AD=CO ∠CAD=∠BCO

，
∴△ACD≌△BCO（ASA），
∴OB=CD=1，
則B（0，1）；

（3）作出直線AA′，BB′，A′D′⊥x軸，B′O′⊥x軸，OO′即為平移的距離，
根據(jù)題意設A′（m，2），B′（m+3，1），反比例解析式為y=

k

x

（k≠0），
將A′與B′代入得：2m=k，m+3=k，即2m=m+3，
解得：m=3，k=6，
∴反比例解析式為y=

6

x

，A′（3，2），B′（6，1），
∴OO′=6，即平移的距離為6．