Question

已知，如圖，△ABO的頂點(diǎn)A是雙曲線y=

m

x

與直線y=kx+b在第四象限內(nèi)的交點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，OA=2

5

，tan∠OAB=

1

2

．另一交點(diǎn)為C（-8，n）．求：
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）若直線AC分別與x軸，y軸交于D，E兩點(diǎn)，且CD=t•DE，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）在Rt△OBA中，解直角三角形，求出OB，AB，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求出m的值，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，可求出n，利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，求出D、E的坐標(biāo)，根據(jù)

CD

DE

=

FO

OE

，可得出t的值．

解答：解：（1）設(shè)OB=x（x＞0），
∵tan∠OAB=

OB

AB

=

1

2

，
∴AB=2x，
在Rt△OAB中，OB²+AB²=OA²，即x²+（2x）²=20，
解得：x=2，
即OB=2，AB=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-4），代入y=

m

x

，得：m=-8，
故反比例函數(shù)解析式為：y=-

8

x

；
將點(diǎn)C（-8，n）代入y=-

8

x

，可得n=1，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-8，1），
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得：

2k+b=-4 -8k+b=1

，
解得：

k=- 1 2 b=-3

，
故一次函數(shù)解析式為：y=-

1

2

x-3．

（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，則OF=1，
，
直線AC解析式為：y=-

1

2

x-3，
令x=0，y=-3，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-3），OE=3，
∵OD∥CF，
∴

CD

DE

=

OF

OE

=

1

3

，
即CD=

1

3

DE，
又∵CD=t•DE，
∴t=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解直角三角形及平行線的性質(zhì)，第二問(wèn)的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求

CD

DE

的值，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．