Question

如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠AOQ=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,垂徑定理

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)OD，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得PQ=PR=QR，則∠POQ=

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×360°=120°，根據(jù)圓內(nèi)接等邊三角形的性質(zhì)有OP⊥QR，而BC∥QR，所以O(shè)P⊥BC，根據(jù)四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，則OP⊥AD，∠AOD=90°，然后根據(jù)垂徑定理可得∠AOP=∠DOP=45°，再利用∠AOQ=∠POQ-∠AOP計(jì)算即可．

解答：解：連結(jié)OD，如圖，
∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴PQ=PR=QR，
∴∠POQ=

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×360°=120°，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD=90°，
∴弧AP=弧DP，
∴∠AOP=∠DOP，
∴∠AOP=

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×90°=45°，
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°．
故答案為75°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．