Question

如圖，把一個直角三角形板放在平面直角坐標系中，直角頂點與原點O重合，另兩個頂點分別落在x、y的正半軸上點A、點B處，作原點O關于直線AB的對稱點O′，連接AO′，并延長AO′交y軸于點C．已知點B坐標（0，3），點C坐標（0，8）
（1）求點B與點O′之間的距離．
（2）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、C，求該一次函數(shù)的表達式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）連接OO′，O′B，由軸對稱的性質(zhì)可知點B在線段OO′的垂直平分線上，故O′B=OB；
（2）由（1）可知O′B=OB，故∠BO′C=′AOB=90°，再根據(jù)C（0，8），B（0，3）可得出BC的長，進而得出O′C的長，再由相似三角形的判定定理得出△BCO′∽△ACO，由相似三角形的對應邊成比例可得出OA的長，進而得出A點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式即可．

解答：解：（1）連接OO′，O′B，
∵點B坐標（0，3），
∴OB=3，
∵點O與點O′關于直線AB對稱，
∴點B在線段OO′的垂直平分線上，
∴O′B=OB=3；

（2）∵由（1）知O′B=OB，
∴∠BO′C=′AOB=90°，
∵C（0，8），B（0，3），
∴BC=8-3=5，
∵O′B=3，
∴O′C=

BC2-O′B2

=

52-32

=4，
∵∠C=∠C，∠BO′C=′AOB=90°，
∴△BCO′∽△ACO，
∴

O′C

OC

=

O′B

OA

，即

4

8

=

3

OA

，解得OA=6，
∴A（6，0），
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（6，0），C（0，8）
∴

6k+b=0 b=8

，解得

k=- 4 3 b=8

，
∴直線AC的解析式為y=-

4

3

x+8．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度適中．