Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知A點坐標（4，0），B點坐標（0，8），點M是線段OA上一動點（不與點O、點A重合），點N是線段OB上一動點，且運動時始終保持ON=2AM，連接MN，并作△OMN的角平分線OD交線段MN于點D．
（1）當△ODN≌△ODA時，線段MN上有哪幾個整數(shù)點（橫坐標，縱坐標都是整數(shù)的點）？
（2）當OD=DM時，求△OMN中的整數(shù)點的個數(shù)（包括三角形邊上的點），并說明理由；
（3）點D可能是整數(shù)點嗎？若存在，則請求出OM的長度；若不存在，則說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當△ODN≌△ODA時，ON=OA=4，即可求得M、N的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得線段MN的解析式，則整數(shù)點即可求解；
（2）當OD=DM時，△ONM是等腰直角三角形，即可求得M、N的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得線段MN的解析式，則整數(shù)點即可求解；
（3）設AM=a，則ON=2a，OM=4-a，則N的坐標是（0，2a），M的坐標是（4-a，0），即可求得線段MN的解析式，D是整數(shù)點可能是（1，1）或（2，2）或（3，3），分別代入解析式求a的值，判斷a是否存在即可．

解答：解：（1）當△ODN≌△ODA時，ON=OA=4，則AM=

1

2

ON=2，則OM=OA-AM=4-2=2，
則M的坐標是（2，0），N的坐標是（0，4），
設直線MN的解析式是：y=kx+b，
根據(jù)題意得：

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
則線段MN的解析式是：y=-2x+4（0≤x≤2），
則MN上的整數(shù)點是（0，4）和（1，2）和（2，0）；

（2）當OD=DM時，
∵OD是∠NOM的平分線，
∴∠DOM=45°，
∵OD=DM，
∴∠NMO=45°，
∴△ONM是等腰直角三角形，
∴ON=OM=OA-AM，
即2AM=4-AM，
解得：AM=

4

3

，
∴ON=OM=

8

3

，
則線段MN的解析式是：y=-x+

8

3

，（0≤x≤

8

3

），
則△OMN中的整數(shù)點有：（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）；

（3）設AM=a，則ON=2a，OM=4-a，則N的坐標是（0，2a），M的坐標是（4-a，0），
設直線MN的解析式是：y=kx+b，
根據(jù)題意得：

b=2a (4-a)k+b=0

，
解得：

b=2a k= 2a a-4

，
則直線MN的解析式是：y=

2ax

a-4

+2a，
∵OD是第一象限角平分線，
∴D是整數(shù)點可能是（1，1）或（2，2）或（3，3）．
當D的坐標是（1，1）時，代入MN的解析式，得：

2a

a-4

+2a=1，解得：a=

7+ 17

4

或

7- 17

4

；
當D的坐標是（2，2）時，代入MN的解析式得：

4a

a-4

+2a=2，方程無解；
當D的坐標是（3，3）時，代入MN的解析式得：

6a

a-4

+2a=3，方程無解．
總之，點D可能是整數(shù)點是（1，1），OM=4-a=4-

7+ 17

4

=

9- 17

4

，或OM=4-

7- 17

4

=

9+ 17

4

．

點評：本題是一次函數(shù)與全等三角形的性質(zhì)，和角平分線的性質(zhì)的綜合應用，在（3）中，把判斷D的整數(shù)點的問題轉(zhuǎn)化為判斷a的值是否存在的問題是關鍵．