Question

【題目】已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），連接DE、BF，P是DE的中點(diǎn)，連接AP。將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

（1）如圖①，當(dāng)△AEF的頂點(diǎn)E、F恰好分別落在邊AB、AD時(shí)，則線段AP與線段BF的位置關(guān)系為 ，數(shù)量關(guān)系為 。

（2）當(dāng)△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置時(shí)，證明：第（1）問中的結(jié)論仍然成立。

（3）若AB=3,AE=1，則線段AP的取值范圍為 。

Answer 1

【答案】（1）AP⊥BF，（2）見解析；（3）1≤AP≤2

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得 ，即△APD為等腰三角形推出∠DAP=∠EDA，可證△AED≌△ABF可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED由三角形內(nèi)角和可得∠AOF=90°即AP⊥BF由全等可得 即

（2）延長(zhǎng)AP至Q點(diǎn)使得DQ∥AE，PA延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，利用P是DE中點(diǎn)，構(gòu)造△AEP≌△PDQ可得∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA可得∠QDA=∠FAB可證△FAB≌△QDA 得到∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB由三角形內(nèi)角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等可得

（3）由于 即求BF的取值范圍，當(dāng)BF最小時(shí)，即F在AB上，此時(shí)BF=2，AP=1

當(dāng)BF最大時(shí)，即F在BA延長(zhǎng)線上，此時(shí)BF=4，AP=2可得1≤AP≤2

（1）

根據(jù)直角三角形斜邊中線定理有AP是△AED中線可得 ，即△APD為等腰三角形。

∴∠DAP=∠EDA

又AE=AF，∠BAF=∠DAE=90°，AB=AD

∴△AED≌△ABF

∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED

設(shè)AP與BF相交于點(diǎn)O

∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB

∴∠AOF=90°即AP⊥BF

∴ 即

故答案為：AP⊥BF，

（2）

延長(zhǎng)AP至Q點(diǎn)使得DQ∥AE，PA延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)

∴∠EAP=∠PQD，∠AEP=∠QDP

∵P是DE中點(diǎn)，

∴EP=DP

∴△AEP≌△PDQ

則∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA

∠QDA=180°-（∠PAD+∠PQD）

=180°-∠EAD

而∠FAB=180°-∠EAD，則∠QDA=∠FAB

∵AF=DQ，∠QDA=∠FAB ，AB=AD

∴△FAB≌△QDA

∴∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB

而∠EAP+∠FAG=90°

∴∠AFB+∠FAG=90°

∴∠FAG=90°

∴AG⊥FB

即AP⊥BF

又

∴

（3）∵

∴即求BF的取值范圍

BF最小時(shí)，即F在AB上，此時(shí)BF=2，AP=1

BF最大時(shí)，即F在BA延長(zhǎng)線上，此時(shí)BF=4，AP=2

∴ 1≤AP≤2