Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)和與軸交于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)沿的邊以每秒個(gè)單位長度的速度由起點(diǎn)向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的垂線，交的另一邊于點(diǎn)將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）N為拋物線上的點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)且滿足直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是否存在某一時(shí)刻，使的面積最大，若存在，求出的值和最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（-5，3）或（，-3）或（，-3）；（3）存在，時(shí)，有最大值為．

【解析】

（1）把A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+3，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得到結(jié)論；

（2）由拋物線解析式求出C（0，3），根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，可知N點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于3，將y=±3分別代入二次函數(shù)解析式，求出x的值，進(jìn)而得到N點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由于點(diǎn)D在y軸的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作軸的垂線，無法與 的另一邊相交，所以點(diǎn)D在y軸左側(cè)，根據(jù)題意求出直線AC的解析式及E，D，F的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積求得與t的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．

解：（1）把A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+3中，得

，解得 ，

∴拋物線的解析式為：，

（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴C（0，3）．

∵N為拋物線上的點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)且S△NAB=S△ABC，

∴設(shè)N（x，y），則|y|=3．

把y=3代入，得，解得x=0或-5，

x=0時(shí)N與C點(diǎn)重合，舍去，

∴N（-5，3）；

把y=-3代入，得，解得

∴N（，-3）或（，-3）．

綜上所述，所求N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，3）或（，-3）或（，-3）；

（3）存在．

由題意可知，∵過點(diǎn)作軸的垂線，交的另一邊于點(diǎn)

∴點(diǎn)D必在y軸的左側(cè)．

∵AD=2t，

∴由折疊性質(zhì)可知DF=AD=2t，

∴OF=3-4t，

∴D（2t-3，0），

∵設(shè)直線AC的解析式為：，將A（-3，0）和C（0，3）代入解析式得 ，解得

∴直線AC的解析式為：

∴E（2t-3，2t）．

∴

∵-4＜0

時(shí)，有最大值為．