Question

【題目】對(duì)于一個(gè)三位正整數(shù)t，將各數(shù)位上的數(shù)字重新排序后（包括本身），得到一個(gè)新的三位數(shù) （a≤c），在所有重新排列的三位數(shù)中，當(dāng)|a+c﹣2b|最小時(shí)，稱此時(shí)的 為t的“最優(yōu)組合”，并規(guī)定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后為：142、214、因?yàn)閨1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124為124的“最優(yōu)組合”，此時(shí)F（124）=﹣1．
（1）三位正整數(shù)t中，有一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，求證：F（t）=0
（2）一個(gè)正整數(shù)，由N個(gè)數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)能被2整除，前三位數(shù)能被3整除，…，一直到前N位數(shù)能被N整除，我們稱這樣的數(shù)為“善雅數(shù)”．例如：123的第一位數(shù)1能披1整除，它的前兩位數(shù)12能被2整除，前三位數(shù)123能被3整除，則123是一個(gè)“善雅數(shù)”．若三位“善雅數(shù)”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y為整數(shù)），m的各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，求出所有符合條件的“善雅數(shù)”中F（m）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵三位正整數(shù)t中，有一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，

∴重新排序后：其中兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和是一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的2倍，

∴a+c﹣2b=0，即（a﹣b）﹣（b﹣c）=0，

∴F（t）=0；

（2）解：∵m=200+10x+y是“善雅數(shù)”，

∴x為偶數(shù)，且2+x+y是3的倍數(shù)，

∵x＜10，y＜10，

∴2+x+y＜30，

∵m的各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，

∴2+x+y=32=9，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=7，

當(dāng)x=2時(shí)，y=5，

當(dāng)x=4時(shí)，y=3，

當(dāng)x=6時(shí)，y=1，

∴所有符合條件的“善雅數(shù)”有：207，225，243，261，

∴所有符合條件的“善雅數(shù)”中F（m）的最大值是）=|2﹣4|﹣|4﹣3|=1．

【解析】（1）由三位正整數(shù)中，有一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是另外兩數(shù)位上的數(shù)字的平均數(shù)，根據(jù)最優(yōu)組合的定義即可求解；
（2）由三位“善雅數(shù)”的定義，可得a為偶數(shù)，且2+x+y是3的倍數(shù)，且2+x+y＜30，又有m的各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，可得2+x+y=32=9，繼而求得答案。