【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+3x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,8),直線l經(jīng)過原點(diǎn)O,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為D(6,8).

(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸與直線l交于點(diǎn)E,點(diǎn)T為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn).
①當(dāng)∠TEC=∠TEO時(shí),求點(diǎn)T的坐標(biāo);
②直線BT與y軸交于點(diǎn)P,與直線l交于點(diǎn)Q,當(dāng)OP=OQ時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ,解得

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+3x+8


(2)

解:①∵y=﹣ x2+3x+8=﹣ (x﹣3)2+ ,

∴拋物線對稱軸為x=3,

設(shè)直線l解析式為y=kx,

把D(6,8)代入可得8=6k,解得k= ,

∴直線l的解析式為y= x,

∴E(3,4),

∵O(0,0),C(0,8),

∴OE=CE,

∴點(diǎn)E在線段OC的垂直平分線上,

∵∠TEC=∠TEO,

∴TE∥x軸,

∴T的縱坐標(biāo)為4,

在y=﹣ x2+3x+8中,令y=4可得4=﹣ x2+3x+8,解得x=3+ 或x=3﹣

∴T的坐標(biāo)為(3+ ,4)或(3﹣ ,4);

②在y=﹣ x2+3x+8中,令y=0可得0=﹣ x2+3x+8,解得x=﹣2或x=8,

∴B(8,0),

∵E(3,4),

∴OE=5,

如圖2,過點(diǎn)E作BP的平行線,交y軸于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)H,

= ,

∵OP=OQ,

∴OF=OE=5,

∴F(0,5),

∴可設(shè)直線PB的解析式為y=kx+5,

把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可得4=3k+5,解得k=﹣ ,

∴直線EF的解析式為y=﹣ x+5,

∴可設(shè)直線PB的解析式為y=﹣ x+m,

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=﹣ ×8+m,解得m= ,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,


【解析】(1)由C、D坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(2)①可先求得拋物線的對稱軸和直線l的解析式,則可求得E點(diǎn)坐標(biāo),由條件可證得TE∥x軸,則可求得T點(diǎn)縱坐標(biāo),代入拋物線解析式,可求得T點(diǎn)坐標(biāo);②過E作BP的平行線,交y軸于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)H,利用平行線分線段成比例可求得OF=OE,可求得F點(diǎn)坐標(biāo),則可求得直線EF的解析式,則可設(shè)出直線PB的解析式,把B點(diǎn)代入可求得直線PB解析式,可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

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型號

A

B

單個(gè)盒子容量(升)

2

3

單價(jià)(元)

5

6

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