Question

（1）探究規(guī)律：
已知：如圖（1），點P為?ABCD內(nèi)一點，△PAB、△PCD的面積分別記為S₁、S₂，□ABCD 的面積記為S，試探究S₁+S₂與S之間的關(guān)系．

（2）解決問題：
如圖（2）矩形ABCD中，AB=6，BC=9，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且AE=CG=4，AH=CF=3．點P為矩形內(nèi)一點，四邊形AEPH、四邊形CGPF的面積分別記為S₁、S₂，求S₁+S₂．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過P點做一條平行AB的直線EF，可得S₁的面積是平行四邊形ABEF的一半，S₂是平行四邊形EFDC的一半，繼而可得出S₁+S₂=

1

2

S．
（2）連接EF、FG、GH、HE，證出四邊形EFGH為平行四邊形，求得四邊形EFGH的面積，△HEP的面積+△GPF的面積=?EFGH面積的一半，再用S₁+S₂=△HEP的面積+△GPF的面積+△AEH的面積+△GFC的面積求解．

解答：答：（1）S₁+S₂=

1

2

S．
證明：如圖（1），過P點做EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
則S₁=

1

2

S_?ABEF，S₂=

1

2

S_?EFDC，
∵S_?ABEF+S_?EFDC=S，
∴S₁+S₂=

1

2

S．
（2）如圖（2），連接EF、FG、GH、HE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
∵AE=CG，AH=CF，
在△AEH和△CGF中，

AE=CG ∠A=∠C AH=CF

，
∴△AEH和△CGF（SAS），
∴HE=FG，
同理得HG=FE，
∵AB=6，BC=9，AE=CG=4，AH=CF=3，
∴BE=AB-AE=6-4=2，BF=BC-CF=9-3=6，DG=CD-CG=6-4=2，HD=AD-AH=9-3=6，
∴△HEP的面積+△GPF的面積
=?EFGH面積的一半
=（矩形ABCD-4個三角形的面積）÷2
=（6×9-

1

2

×4×3-

1

2

×4×3-

1

2

×2×6-

1

2

×2×6）÷2
=15，
∴S₁+S₂=△HEP的面積+△GPF的面積+△AEH的面積+△GFC的面積
=15+

1

2

×4×3+

1

2

×4×3
=27．

點評：考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊平行的性質(zhì)．同時考查了矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，注意面積的轉(zhuǎn)化．