Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足

CF

FD

=

1

3

，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求證：△ADF∽△AED；
（2）求FG的長；
（3）求證：tan∠E=

5

4

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
②由

CF

FD

=

1

3

，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=

5

4

．

解答：解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴DG=CG，
∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
②∵

CF

FD

=

1

3

，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
③∵AF=3，F(xiàn)G=2，
∴AG=

AF2-FG2

=

5

，
tan∠E=

AG

DG

=

5

4

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．