Question

如圖，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，點C在OA上，AC=1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切，切點分別為E、F．若反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P．
（1）試求反比例函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出切點E和F的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）連接PE，PF則PE⊥AB，PF⊥x軸，作EF′⊥y軸，EG⊥x軸．根據(jù)勾股定理求出BO的長、BC的長，設FC=FP=PE=m，則PC=

2

m，BP=3

2

-

2

m，AE=AF=m+1，BE=5-（m+1）=4-m，在Rt△BPE中，利用勾股定理得到m²+（4-m）²=（3

2

-

2

m）²，求出半徑，從而得到P點坐標，求出函數(shù)解析式；
（2）由（1）易得F點坐標，利用EF′∥OA，EG∥OB，得到

BE

BA

=

F′E

AO

，

EG

BO

=

AE

AB

，求出FE、GE的長，得到E點坐標．

解答：解：（1）連接PE，PF則PE⊥AB，PF⊥x軸，作EF′⊥y軸，EG⊥x軸．
∵AO=4，AB=5，
∴BO=

52-42

=3，
∵AC=1，
∴OC=4-1=3，
∴∠BCO=45°，
∴BC=

32+32

=3

2

，
設FC=FP=PE=m，則PC=

2

m，BP=3

2

-

2

m，AE=AF=m+1，BE=5-（m+1）=4-m，
在Rt△BPE中，m²+（4-m）²=（3

2

-

2

m）²，
解得m=

1

2

，
∴OF=3-

1

2

=

5

2

，
∴P點坐標為（

5

2

，

1

2

），F(xiàn)點坐標為（

5

2

，0）．
設反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，
把P（

5

2

，

1

2

）代入解析式得k=

5

4

，
則函數(shù)解析式為y=

5

4x

．
（2）∵EF′∥OA，
∴

BE

BA

=

F′E

AO

，
∴

7 2

5

=

F′E

4

，
∴F′E=

14

5

，
∵EG∥OB，
∴

EG

BO

=

AE

AB

，
∴

EG

3

=

3 2

5

，
∴EG=

9

10

，
∴E（

14

5

，

9

10

）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，涉及勾股定理、切線的性質(zhì)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，綜合性強，值得關注．