Question

已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的兩個實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）如果x₁、x₂滿足不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，且m為負(fù)整數(shù)，求出m的值，并解出方程的根．
（友情提示：若一元二次方程ax²+bx+c=0有兩根x₁、x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

）

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（-2）²-4×2×（m-1）≥0，然后解不等式；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=1，x₁•x₂=

m+1

2

，把7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²變形得7+6x₁•x₂＞（x₁+x₂）²，所以7+6×

m+1

2

＞1，解得m＞-3，于是得到m的取值范圍-3＜m≤-

1

2

，由于m為負(fù)整數(shù)，所以m=-2或m=-1，然后把m的值分別代入原方程，再解方程．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=（-2）²-4×2×（m-1）≥0，
解得m≤-

1

2

；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=1，x₁•x₂=

m+1

2

，
∵7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，
∴7+6x₁•x₂＞（x₁+x₂）²，
∴7+6×

m+1

2

＞1，解得m＞-3，
∴-3＜m≤-

1

2

，
∵m為負(fù)整數(shù)，
∴m=-2或m=-1，
當(dāng)m=-2時(shí)，方程變形為2x²-2x-1=0，解得x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

；
當(dāng)m=-1時(shí)，方程變形為x²-x=0，解得x₁=1，x₂=0．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．