Question

在正方形ABCD中，過點A引射線AH，交邊CD于點H（點H與點D不重合）．通過翻折，使點B落在射線AH上的點G處，折痕AE交BC于E，延長EG交CD于F．
【感知】
如圖①，當點H與點C重合時，可得FG=FD．
【探究】
如圖②，當點H為邊CD上任意一點時，猜想FG與FD的數(shù)量關系，并說明理由．
【應用】
在圖②中，當DF=3，CE=5時，直接利用探究的結(jié)論，求AB的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：[探究]連接AF，根據(jù)圖形猜想FD=FG，由折疊的性質(zhì)可得AB=AG=AD，再結(jié)合AF為△AGF和△ADF的公共邊，從而證明△AGF≌△ADF，從而得出結(jié)論．
[應用]設AB=x，則BE=EG=x-5，F(xiàn)E=x-2，F(xiàn)C=x-3，在RT△ECF中利用勾股定理可求出x的值，進而可得出答案．

解答：解：猜想FD=FG．
證明：連接AF，
由折疊的性質(zhì)可得AB=AG=AD，
在Rt△AGF和Rt△ADF中，

AG=AD AF=AF

，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
故可得FG=FD．
[應用]設AB=x，則BE=EG=x-5，F(xiàn)E=x-2，F(xiàn)C=x-3，
在Rt△ECF中，EF²=FC²+EC²，即（x-2）²=（x-3）²+5²，
解得x=15．
即AB的長為15．

點評：本題考查了翻折變換及正方形的性質(zhì)，掌握△AGF≌△ADF始終不變是解答本題的關鍵，另外在進行結(jié)論的應用時，得出Rt△EFC的各邊后運用勾股定理進行求解時，要細心避免出錯．