Question

如圖①，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且PE=PB，PE交CD于點(diǎn)F，連接DE．

（1）請(qǐng)判斷△PDE的形狀，并給予證明；
（2）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=56°，求∠DPE的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先證明△BCP≌△DCP，得出∠CBP=∠CDP，PD=PB，根據(jù)PE=PB可得∠CBP=∠CEP，PD=PE，然后求出∠DPE=∠DCE=90°，得出結(jié)論；
（2）由（1）可知∠DPE=∠DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證．

解答：（1）∴△PDE為等腰直角三角形
證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
在△BCP和△DCP中，

BC=DC ∠BCP=∠DCP PC=PC

∴△BCP≌△DCP（SAS）；
∴∠CBP=∠CDP，PD=PB
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠CEP，PD=PE
∵∠CFE=∠PFD（對(duì)頂角相等）
∴180°-∠PFD-∠CDP=180°-∠CFE-∠CEP
即∠DPE=∠DCE=90°
∴△PDE為等腰直角三角形．

（2）解：∵AB∥CD
∴∠DCE=∠ABC，∠DPE=∠DCE
∴∠DPE=∠ABC
∵∠ABC=56°
∴∠DPE=56°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出∠BCP=∠DCP是解題的關(guān)鍵．