Question

【題目】在正方形ABCD中，

（1）如圖1，若點E，F分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，且∠AOF=90°.求證：AE =BF．

（2）如圖2，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G．若DC=5,CM=2，求EF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) .

【解析】(1) 分析：（1）根據矩形的對邊平行且相等得到AB=BC，∠DCB=∠ABE．再結合一對直角相等即可證明三角形全等；(2) 由折疊的性質得全等三角形的對應邊相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長；再根據勾股定理求得DE的長，運用三角函數定義求解．

本題解析：

(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，

∠ABE=∠BCF=90°，∵∠AOF=90°，∠AOB=90°，

∴∠BAE+∠OBA=90°，又∵∠FBC+∠OBA=90°，

∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），在△ABE和△BCF中

∴

∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF．

(2) 作MG⊥AB于G，作FH⊥AD于H，如圖所示：

則MG=AD，FH=AB，∴MG=FH，

在△AMG和△EFH中, ，

∴△AMG≌△EFH(AAS)，∴AM=EF；∵DC=AD=5,CM=2,∴DM=5-2=3

在Rt△ADM中,根據勾股定理得：AM=，

∴EF=AM=.