Question

【題目】（情境）某課外興趣小組在一次折紙活動(dòng)課中．折疊一張帶有條格的長(zhǎng)方形的紙片ABCD（如圖1），將點(diǎn)B分別與點(diǎn)A，A1，A2，…，D重合，然后用筆分別描出每條折痕與對(duì)應(yīng)條格線所在的直線的交點(diǎn)，用平滑的曲線順次連結(jié)各交點(diǎn)，得到一條曲線．

圖1 圖2 圖3

（探索）（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將矩形紙片ABCD的頂點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，BC邊放在x軸的正半軸上，AB邊放在y軸的正半軸上，AB=m，AD=n，（m≤n）．將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC于點(diǎn)Q，折痕MN所在直線與直線EQ相交于點(diǎn)P，連結(jié)OP．求證：四邊形OMEP是菱形；

（歸納）（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（x，y），求y與x的函數(shù)關(guān)系式（用含m的代數(shù)式表示）．

（運(yùn)用）（3）將矩形紙片ABCD如圖3放置，AB=8，AD=12，將紙片折疊，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，折痕與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．試問(wèn)在這條折疊曲線上是否存在點(diǎn)K，使得△KCF的面積是△KOC面積的？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）y= （3）點(diǎn)K（2+2，）

【解析】(1)、如果四邊形的四邊相等，那么這個(gè)四邊形是菱形；(2)、根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，可表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可知道OP的長(zhǎng)，用勾股定理表示出解析式；(3)、首先畫(huà)出圖形，作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．設(shè)K（x，y），根據(jù)面積的關(guān)系得出y=，將點(diǎn)K的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，從而得出x的值，得出點(diǎn)K的坐標(biāo)．

(1)、證明：如圖3，由題意知：OM=ME，∠OMN=∠EMN， ∵OM∥EP，∴∠OMN=∠MPE．

∴∠EMN=∠MPE． ∴ME=EP．∴OM=EP． ∴四邊形OMEP是平行四邊形．

又∵M(jìn)E=EP，∴四邊形OMEP是菱形；

(2)、解：∵四邊形OMEP是菱形， ∴OP=PE，∴OP2=PE2， ∵EQ=OA=m，PQ=y，

∴PE=m﹣y．∴PE2=（m﹣y）2=m2﹣2my+y2．

∵OP2=x2+y2，PE2=m2﹣2my+y2， ∴x2+y2=m2﹣2my+y2． ∴y=；

(3)、解：如圖3，假設(shè)折疊曲線上存在點(diǎn)K滿足條件．

當(dāng)m=8時(shí)，y=﹣x2+4． 作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．設(shè)K（x，y），

則KG=12﹣x，KH=y． 當(dāng)x=12時(shí)，y=﹣5． ∴F（12，﹣5）， ∴CF=5．

∴S△KCF=CF×KG=×5×（12﹣x）， S△KOC=CO×KH=×12y， ∵S△KCF= S△KOC，

∴0.5×5·（12-x）=××12·y ∴y=． ∴K（x，）．

∵點(diǎn)K在y=﹣x2+4上， ∴=﹣x2+4． 化簡(jiǎn)得：x2﹣4x﹣16=0，

解得：x1=2+2，x2=2﹣2（舍去）， 當(dāng)x1=2+2時(shí)，y=，

∴存在點(diǎn)K（2+2，）．