Question

如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于P點，NP平分∠MNQ．
（1）求證：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半徑R=2，NP=2

3

，求NQ的長．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）連結OP，根據切線的性質由直線PQ與⊙O相切得OP⊥PQ，再由OP=ON得到∠ONP=∠OPN，由NP平分∠MNQ得到∠ONP=∠QNP，利用等量代換得∠OPN=∠QNP，根據平行線的判定得OP∥NQ，所以NQ⊥PQ；
（2）連結PM，根據圓周角定理由MN是⊙O的直徑得到∠MPN=90°，易證得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可計算出NQ的長．

解答：（1）證明：連結OP，如圖，
∴直線PQ與⊙O相切，
∴OP⊥PQ，
∵OP=ON，
∴∠ONP=∠OPN，
∵NP平分∠MNQ，
∴∠ONP=∠QNP，
∴∠OPN=∠QNP，
∴OP∥NQ，
∴NQ⊥PQ；
（2）解：連結PM，如圖，
∵MN是⊙O的直徑，
∴∠MPN=90°，
∵NQ⊥PQ，
∴∠PQN=90°，
而∠MNP=∠QNP，
∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，
∴

NP

NQ

=

MN

NP

，即

2 3

NQ

=

4

2 3

，
∴NQ=3．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質．