Question

）如圖所示，在⊙O中，，弦AB與弦AC交于點(diǎn)A，弦CD與AB交于點(diǎn)F，連 接BC．

（1）求證：AC2=AB•AF；

（2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中陰影部分面積．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）cm2．

【解析】

試題分析：（1）由 ，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△ACF與△ABC相似，根據(jù)相似得比例可得證；

（2）連接OA，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，由∠B為60°，求出∠AOC為120°，過O作OE垂直于AC，垂足為點(diǎn)E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出∠AOE為60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長，進(jìn)而求出AC的長，由扇形AOC的面積-△AOC的面積表示出陰影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積．

（1）證明：∵，

∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，

∴△ACF∽△ABC，

∴，即AC2=AB•AF；

（2）【解析】
連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，

∵∠ABC=60°，

∴∠AOC=120°，

又OA=OC，

∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，

在Rt△AOE中，OA=2cm，

∴OE=OAcos60°=1cm，

∴AE=cm，

∴AC=2AE=2cm，

則S陰影=S扇形OAC﹣S△AOC=cm2．

考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.圓心角、弧、弦的關(guān)系；3.圓周角定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì)．