【題目】如圖1,拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B右側(cè)),與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點.
(1)如圖1,連接AC、BC,若點P是直線AC上方拋物線上一動點,過點P作PE//BC交于點E,作PQ//y軸交AC于點Q,當△PQE周長最大時,若點M在y軸上,點N在x軸上,求PM+MNAN的最小值;
(2)如圖2,點G為x軸正半軸上一點,且OG=OC,連接CG,過點作于點,將繞點順時針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)中的為△,在旋轉(zhuǎn)過程中,直線,分別與直線交于點,,△能否成為等腰三角形?若能請直接寫出所有滿足條件的的值;若不能,請說明理由.
【答案】(1)PM+MN﹣AN的最小值是;(2)滿足條件的旋轉(zhuǎn)角α為15°或37.5°或60°或127.5°.
【解析】
(1)構(gòu)建二次函數(shù),求出點P坐標,如圖2中,作sin∠OAF=, 作PN⊥AF,則有PM+MN≥PN,NH=AN,可知PM+MN-ANAN的最小值即為PH的長,根據(jù)同角的三角函數(shù)可得PH的長;
(2)分四種情形分別畫出圖形分別求解即可解決問題;
解:(1)如圖1,對于拋物線,令y=0,得到x=6或-2,
∴A(6,0),B(-2,0),
當x=0時,y=2,
∴C(0,2),
Rt△AOC中,OC=2, OA=6,
∴AC=4,
∴∠ACO=60°,同理得∠BCO=30°
∴∠ACB=30°+60°=90°,
∵PE∥BC,
∴∠PEQ=90°,
∵PQ∥y軸,
∴∠ACO=∠PQC=60°,
∴當PQ最大時,△PQE周長最大,
設(shè),則,
當x=3時,PQ最長,此時,△PQE周長最大,
如圖2,在y軸上取點,得,
,作PH⊥AF,交AF于H,交y軸于M,交x軸于N,AF交PQ于K,
則PM+MN-ANAN的最小值即為PH的長,
∵A(6,0),,
易得直線AF的解析式為,
當x=3時,
綜上,PM+MN-ANAN的最小值是.
(2)如圖3中,當MN=MG′時,設(shè)OA交G′N于L,
∵∠MG′N=75°,
∴∠MNG′=∠MG′N=75°,
∴∠NLA=75°-30°=45°,
∵∠OLG'=∠NLA=45°,∠OG′L=45°+75°=120°,
∴∠AOG′=180°-120°-45°=15°,
∴旋轉(zhuǎn)角為15°.
如圖4中,當G′M=G′N時,設(shè)OA交C′G′于L.
∵∠MG′N=75°,
∴∠G′MN=(180°-75°)=52.5°,
∴∠OLG′=∠ALM=180°-30°-52.5°=97.5°,
∴∠AOG′=180°-97.5°-45°=37.5°,
∴旋轉(zhuǎn)角為37.5°.
如圖5中,當NG′=NM時,設(shè)OA交G′C′于L.
∵∠NG′M=∠NMG′=75°,
∴∠MNG′=∠CAO=30°,
∴AL∥NG′,
∴∠OLG′=∠MG'N=75°,
∴∠AOG′=180°-75°-45°=60°,
∴旋轉(zhuǎn)角為60°.
如圖6中,當G′M=G′N時,
∵∠MG′N=180°-75°=105°,
∴∠NMG′=(180°-105°)=37.5°,
∴∠AOC′=360°-150°-135°-37.5°=37.5°,
∴∠AOG′=90°+37.5°=127.5°
∴旋轉(zhuǎn)角為127.5°.
綜上所述,滿足條件的旋轉(zhuǎn)角α為15°或37.5°或60°或127.5°.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)請在圖中,畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1;
(2)以點O為位似中心,將△ABC縮小為原來的,得到△A2B2C2,請在圖中y軸右側(cè),畫出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【題目】某校為了了解九年級學生體育測試成績情況,以九年級(1)班學生的體育測試成績?yōu)闃颖,按B、C、D四個等級進行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制如下兩幅統(tǒng)計圖,請你結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:(說明:A級:90分﹣100分;B級:75分﹣89分;C級:60分~74分;D級:60分以下)
(1)求出D級學生的人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比;
(2)求出扇形統(tǒng)計圖(圖2)中C級所在的扇形圓心角的度數(shù);
(3)若該校九年級學生共有500人,請你估計這次考試中A級和B級的學生共有多少人?
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論: ① abc<0;② 2a+b=0; ③ b2-4ac<0;④ 9a+3b+c>0; ⑤ c+8a<0.正確的結(jié)論有( 。.
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】蔬菜基地為選出適應市場需求的西紅柿秧苗,在條件基本相同的情況下,將甲、乙兩個品種的西紅柿秧苗各500株種植在同一個大棚.對市場最為關(guān)注的產(chǎn)量進行了抽樣調(diào)查,隨機從甲、乙兩個品種的西紅柿秧苗中各收集了50株秧苗上的掛果數(shù)(西紅柿的個數(shù)),并對數(shù)據(jù)(個數(shù))進行整理、描述和分析,下面給出了部分信息.
a. 甲品種掛果數(shù)頻數(shù)分布直方圖(數(shù)據(jù)分成6組:25≤x<35,35≤x<45,45≤x<55,55≤x<65,65≤x<75,75≤x<85).
b. 甲品種掛果數(shù)在45≤x<55這一組的是:
45,45,46,47,47,49,49,49,49,50,50,51,51,54
c. 甲、乙品種掛果數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:
品種 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲 | 49.4 | m | 49 | 1944.2 |
乙 | 48.6 | 48.5 | 47 | 3047 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)表中m= ;
(2)試估計甲品種掛果數(shù)超過49個的西紅柿秧苗的數(shù)量;
(3)可以推斷出 品種的西紅柿秧苗更適應市場需求,理由為 (至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性).
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【題目】在直角三角形中,如果已知2個元素(其中至少有一個是邊),那么就可以求出其余的3個未知元素.對于任意三角形,我們需要知道幾個元素就可以求出其余的未知元素呢?思考并解答下列問題:
(1)觀察下列4幅圖,根據(jù)圖中已知元素,可以求出其余未知元素的三角形是 .
(2)如圖,在△ABC中,已知∠B=40°,BC=18,AB=15,請求出AC的長度(答案保留根號).(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.6,cos40°≈0.8,tan40°≈0.75)
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=BC,直徑MN⊥BC于點D,與AC邊相交于點E,若⊙O的半徑為2,OE=2,則OD的長為_____.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過點O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長,又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對應邊成比例,即可求得的長,然后利用三角函數(shù)的知識,求得與的長,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個公共點M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點D坐標(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個交點記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時,直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點G,點G、H關(guān)于原點對稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點,試求t的取值范圍.
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【題目】某校興趣小組就“最想去的漳州5個最美鄉(xiāng)村”隨機調(diào)查了本校部分學生. 要求每位同學選擇且只能選擇一個最想去的最美鄉(xiāng)村. 下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出的尚不完整統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖,其中x、y是滿足x<y的正整數(shù).
最美鄉(xiāng)村意向統(tǒng)計表
最美鄉(xiāng)村 | 人數(shù) |
A:龍海埭美村 | 10 |
B:華安官畬村 | 11 |
C:長泰山重村 | 4x |
D:南靖塔下村 | 9 |
E:東山澳角村 | 3y |
最美鄉(xiāng)村意向扇形統(tǒng)計圖
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)求x、y的值;
(2)若該校有1200名學生,請估計“最想去華安官畬村”的學生人數(shù).
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