【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=8 cm,AD⊥BC于點D.點P從點A出發(fā),沿A→C方向以 cm/s的速度運動到點C停止.在運動過程中,過點P作PQ∥AB交BC于點Q,以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90°(點M,C位于PQ異側).設點P的運動時間為x(s),△PQM與△ADC重疊部分的面積為y(cm2

(1)當點M落在AB上時,求x的值;
(2)當點M落在AD上時,PM與CD之間的數(shù)量關系是 , 此時x的值是;
(3)求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍.

【答案】
(1)

解:當點M落在AB上時,四邊形AMQP是正方形,此時點D與點Q重合,

∴AP=CP=4 ,所以x= =4.

故答案為4.


(2)PM= CD;
(3)

解:①當0<x≤4時,如圖2中,設PM、PQ分別交AD于點E、F,則重疊部分為△PEF,

∵AP= x,

∴EF=PE=x,

∴y=SPEF= PEEF= x2

②當4<x≤ 時,如圖3中,設PM、MQ分別交AD于E、G,則重疊部分為四邊形PEGQ.

∵PQ=PC=8 x,

∴PM=16﹣2x,∴ME=PM﹣PE=16﹣3x,

∴y=SPMQ﹣SMEG= (8 x)2 (16﹣3x)2=﹣ x2+32x﹣64.

③當 <x<8時,如圖4中,則重合部分為△PMQ,

∴y=SPMQ= PQ2= (8 x)2=x2﹣16x+64.

綜上所述y=


【解析(1)當點M落在AB上時,四邊形AMQP是正方形,此時點D與點Q重合,由此即可解決問題.(2)如圖1中,當點M落在AD上時,作PE⊥QC于E,先證明DQ=QE=EC,由PE∥AD,得 ,由此即可解決問題.(3)分三種情形①當0<x≤4時,如圖2中,設PM、PQ分別交AD于點E、F,則重疊部分為△PEF,②當4<x≤ 時,如圖3中,設PM、MQ分別交AD于E、G,則重疊部分為四邊形PEGQ.③當 <x<8時,如圖4中,則重合部分為△PMQ,分別計算即可解決問題.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點,需要掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構造相似三角形求解才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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