Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，2）．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；

（3）若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上．是否存在以C、D、E、F為頂點(diǎn)且以CD為一邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)a=2時(shí)，PQ有最大值2；(3) 存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是F1（）、F2（）、F3（3，2）．

【解析】分析：（1）將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入求出函數(shù)解析式；

（2）先求出直線AB的函數(shù)解析式，然后設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，b），并求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后求出線段PQ的最大值；

（3）本題應(yīng)分情況討論：

①將CD平移，令C點(diǎn)落在x軸（即E點(diǎn)）、D點(diǎn)落在拋物線（即F點(diǎn)）上，可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出F點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求得F點(diǎn)坐標(biāo)；

②過C作x軸的平行線，與拋物線的交點(diǎn)符合F點(diǎn)的要求，此時(shí)F、C的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)坐標(biāo)．

詳解：（1）∵拋物線過點(diǎn)A（-1，0），C（0，2），

∴.解得.

∴函數(shù)解析式為：.

（2）由（1）得，，

令

解得x=-1或x=4.∴A（-1,0）、B（4,0）.

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，它過點(diǎn)B（4,0）、C（0，2），

則有，解得.

∴直線BC解析式為.

設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)為.

∵PQ∥y軸，

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a，縱坐標(biāo)為.

∴PQ=-（）

==

∵，∴其圖象開口向下，有最大值.

∴當(dāng)a=2時(shí)，PQ有最大值2.

（3）如圖所示.

①平移直線CD交x軸于點(diǎn)E，交x軸下方的拋物線于點(diǎn)F.

當(dāng)CD=E1F1時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊形.

∵C（0，2），∴設(shè)F（x，-2），

代入解析式得：.

解得.

此時(shí)存在點(diǎn)F1（）、F2（）

②過點(diǎn)C作CF3∥x軸交拋物線于點(diǎn)F3，過點(diǎn)F3作F3E3∥CD交x

軸于點(diǎn)E3，此時(shí)四邊形CDE3F3為平行四邊形.

此時(shí)F3縱坐標(biāo)為2，將縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得

.

解得：x=0或x=3.

此時(shí)存在點(diǎn)F3（3，2）．

綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是F1（）、F2（）、F3（3，2）．