【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點P為AC邊上的一點,延長BP至點D,使得AD=AP,當AD⊥AB時,過點D作DE⊥AC于E.
(1)求證:∠CBP=∠ABP;
(2)若AB-BC=4,AC=8.求AB的長度和DE的長度.
【答案】(1)見詳解;(2)AB=10,DE =4.
【解析】
(1)要證∠CBP=∠ABP,只需證∠BPC=∠BDA即可,而題目告訴AP=AD,結論顯然;
(2)設AB的長為x,則BC可用x表示,用勾股定理建立方程即可解出x即可求出AB的長度,過點P作PF⊥BA于點F,證明△BCP≌△BFP可求得BF=BC=6,AF=AB-BF=4,證明△PAF≌△ADE,可得DE=AF=4.
(1)∵∠C=90°,
∴∠CBP+∠BPC=90°,
∵DA⊥BA,
∴∠PBA+∠BDA=90°,
∵AD=AP,
∴∠BDA=∠DPA=∠BPC,
∴∠CBP=∠ABP;
(2)設AB=x,
∵ABBC=4,
∴BC=x4,
∵AC=8,
∴在Rt△ABC中,(x4)2+64=x2,
解得:x=10,
即AB=10,
過點P作PF⊥BA于點F,如圖
在△BCP和△BFP中:
∵
∴△BCP≌△BFP(AAS),
∴BF=BC=6,
∴AF=4,
∵DE⊥AC,
∴∠EAD+∠ADE=90°=∠PAF+∠EAD,
∴∠PAF=∠ADE,
在△PAF和△ADE中,
∴△PAF≌△ADE(AAS),
∴DE=AF=4.
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【題目】作圖題(不寫作法)已知:如圖,在平面直角坐標系中.
(1)作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1,并寫出△A1B1C1三個頂點的坐標;
(2)求△ABC的面積;
(3)在x軸上畫點P,使PA+PC最。
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【題目】如圖,已知△ABC,按以下步驟作圖:①分別以 B,C 為圓心,以大于BC 的長為半徑作弧,兩弧相交于兩點 M,N;②作直線 MN 交 AB 于點 D,連接 CD.若 CD=AC,∠A=50°,則∠ACB 的度數(shù)為
A.90°B.95°C.105°D.110°
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【題目】(1)觀察推理:如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過點C,點A、B在直線l同側,BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D、E.求證:△AEC≌△CDB;
(2)類比探究:如圖2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,將斜邊AB繞點A逆時針旋轉90°至AB′,連接B′C,求△AB′C的面積.
(3)拓展提升:如圖3,等邊△EBC中,EC=BC=4cm,點O在BC上,且OC=3cm,動點P從點E沿射線EC以2cm/s速度運動,連結OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉120°得到線段OF.要使點F恰好落在射線EB上,求點P運動的時間ts.
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【題目】如圖,∠MON=90°,已知△ABC中,AC=BC=13,AB=10,△ABC的頂點A、B分別在射線OM、ON上,當點B在ON上運動時,A隨之在OM上運動,△ABC的形狀始終保持不變,在運動的過程中,點C到點O的最小距離為____.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分線,DE分別交BC、AB于點D、E.
(1)求證:△ABC為直角三角形.
(2)求AE的長.
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【題目】(7分)現(xiàn)有一個六面分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6且質地均勻的正方形骰子,另有三張正面分別標有數(shù)字1,2,3的卡片(卡片除數(shù)字外,其他都相同),先由小明投骰子一次,記下骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字,然后由小王從三張背面朝上放置在桌面上的卡片中隨機抽取一張,記下卡片上的數(shù)字.
(1)請用列表或畫樹形圖(樹狀圖)的方法,求出骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為6的概率;
(2)小明和小王做游戲,約定游戲規(guī)則如下:若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積大于7,則小明贏;若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積小于7,則小王贏,問小明和小王誰贏的可能性更大?請說明理由.
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【題目】如圖,已知△ABC,直線PQ垂直平分AC,與邊AB交于E,連接CE,過點C作CF平行于BA交PQ于點F,連接AF.
(1)求證:△AED≌△CFD;
(2)求證:四邊形AECF是菱形.
(3)若AD=3,AE=5,則菱形AECF的面積是多少?
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【題目】如圖①,在4×8的網(wǎng)格紙中,每個小正方形的邊長都為1,動點P、Q分別從點D、A同時出發(fā)向右移動,點P的運動速度為每秒2個單位,點Q的運動速度為每秒1個單位,當點P運動到點C時,兩個點都停止運動,設運動時間為t(0<t<4).
(1)請在4×8的網(wǎng)格紙圖①中畫出t為3秒時的線段PQ.并求其長度;
(2)若M是BC的中點,記△PQM的面積為S,請用含有t的代數(shù)式來表示S;
(3)當t為多少時,△PQB是以PQ為腰的等腰三角形?
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