Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n都是正數(shù)．試證：++…++≥a₁+a₂+…+a_n．①

Answer 1

證明：欲證①成立，先考慮最簡單的情形，設(shè)n=3，即證
++≥a₁+a₂+a₃…②
把②變形為
（）²+（）²+（）²≥0…③
即證
++≥0…④
由于④中左邊有（a₁-a₂），（a₂-a₃），（a₃-a₁），其和為零，因此，我們猜想：若④式左邊相加，其和不小于（a₁-a₂），（a₂-a₃），（a₃-a₁）之和即可．為此，我們證更簡單的事實．
設(shè)a，b是任意正整數(shù)，則有
…⑤
事實上，由（a-b）²≥0有
a²-ab≥ab-b²，
所以a（a-b）≥b（a-b）
所以≥（a-b）
根據(jù)⑤，④顯然成立，因為
++≥（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+（a₃-a₁）≥0，
從而③式成立，②式成立．
剩下來的工作是把②式推到一般情形①，這是很容易的．因為根據(jù)⑤，①式必然成立，因為
+…++≥（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）+（a_n-a₁）=0
分析：首先證明最簡單的情況，即n=3時，利用配方法根據(jù)任何數(shù)的平方一定是非負數(shù)即可證明，然后把證明的方法推廣到一般的情況即可．
點評：本題主要考查了不等式的證明，把所證的式子轉(zhuǎn)化為與所證的式子的等價情況是解題的關(guān)鍵．