Question

【題目】如圖，，分別是以，為斜邊的直角三角形，，是等邊三角形.

（1）求證：；

（2）若，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形CDE的性質(zhì)、等量代換求得∠3=∠1=60°；然后由全等三角形Rt△BCE和Rt△ACD推知對(duì)應(yīng)邊BC=AC, ；從而判定△ABC是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案．

（2）先根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)得出EF長(zhǎng)，再根據(jù)得出的長(zhǎng)

（1）證明：∵△CDE是等邊三角形，
∴EC=CD，∠1=∠D=60°．
∵BE、AD都是斜邊，

∴∠BCE=∠ACD=90°, ∠CAD=30°

在與中，

，

∴，

∴BC=AC． ∠CAD=∠CBE =30°
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1=60°．
∴△ABC是等邊三角形．

∴∠ABC=60°

∴∠CAD=∠CBE =30°

∴.

（2）∵，

∴，

在Rt,∠CBE =30°

∴，

又∵∠ECF=90°-∠DCE =30°，

∴，

∴.