Question

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3m）（其中m＞0），頂點(diǎn)為D．

（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；

（2）如圖①，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；

（3）如圖②，當(dāng)m取何值時(shí)，以A、D、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？

 

 

Answer 1

（1）y= mx2+2mx﹣3m；（2）S與x之間的關(guān)系式為S=﹣3x2﹣9x，當(dāng)x=﹣時(shí)，S有最大值為；（3）當(dāng)m=1時(shí)，以A、D、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．

【解析】

試題分析：（1）利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式．

（2）如答圖1，求出S的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

（3）△ACD與△BOC相似，且△BOC為直角三角形，所以△ACD必為直角三角形．本問(wèn)分多種情形，需要分類討論，避免漏解．

試題解析：【解析】
（1）∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A（﹣3，0）、B（1，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+3）（x﹣1）．

將點(diǎn)C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴a = m備．

∴拋物線的解析式為：y=m（x+3）（x﹣1）=mx2+2mx﹣3m．

（2）當(dāng)m=2時(shí)，C（0，﹣6），拋物線解析式為y=2x2+4x﹣6，則P（x，2x2+4x﹣6）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有

，解得．

∴直線AC的解析式為y=﹣2x﹣6．

如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，

則F（x，﹣2x﹣6）．

∴．

∴S=S△PFA+S△PFC=PF•AE+PF•OE=PF•OA．

∴S與x之間的關(guān)系式為S=﹣3x2﹣9x，當(dāng)x=﹣時(shí)，S有最大值為．

（3）∵y=mx2+2mx﹣3m=m（x+1）2﹣4m，∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，﹣4m）．

如答圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，則DM=4m，OM=1，AM=OA﹣OM=2；

過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，則DN=1，CN=ON﹣OC=4m﹣3m=m．

由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CN2+DN2=m2+1；AD2=DM2+AM2=16m2+4．

∵△ACD與△BOC相似，且△BOC為直角三角形，

∴△ACD必為直角三角形．

i）若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則AC2+AD2=CD2，

即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，

整理得：m2=﹣．∴此種情形不存在．

ii）若點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，則AD2+CD2=AC2，

即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，整理得：m2=，

∵m＞0，∴m=．

此時(shí)，可求得△ACD的三邊長(zhǎng)為：，

△BOC的三邊長(zhǎng)為：，

∴兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊不成比例，不可能相似．∴此種情形不存在．

iii）若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則AC2+CD2=AD2，

即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，整理得：m2=1，

∵m＞0，∴m=1．

此時(shí)，可求得△ACD的三邊長(zhǎng)為：，

△BOC的三邊長(zhǎng)為：OB=1，OC=3，BC=．

∵，∴滿足兩個(gè)三角形相似的條件．

∴m=1．

綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，以A、D、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；3待定系數(shù)法的應(yīng)用；4．曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5．二次函數(shù)的性質(zhì)；6．由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式；7．勾股定理；8．相似三角形的判定；9．分類思想、轉(zhuǎn)換思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．