Question

如圖，直線AC：y=

3

3

x+

4 3

3

與y軸交于點(diǎn)M，y軸垂直平分BC于D，AB=BC=4，∠BAO=60°
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度沿AC運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），設(shè)PM的長(zhǎng)為d，求d與t的函數(shù)解析式，直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在t值，使△PCB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由y軸垂直平分BC于D，AB=BC=4，得出C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，代入解析式即可求得；
（2）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出AM，CM，①當(dāng)0＜t≤

4 3

3

時(shí)，d=

8 3

3

-2t，②當(dāng)

4 3

3

＜t≤2

3

時(shí)，d=2t-

8 3

3

，
（3）△PCB為等腰三角形，分類(lèi)討論：①當(dāng)PC=BC時(shí)；②當(dāng)PB=PC時(shí)；③PB=BC（不符合題意，舍去）；逐個(gè)求解．

解答：解（1）∵y軸垂直平分BC于D，AB=BC=4，
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∴y=

3

3

×2+

4 3

3

=2

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2

3

），

（2）∵直線AC：y=

3

3

x+

4 3

3

與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)A，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

4 3

3

），
∴AM=

42+( 4 3 3 )2

=

8 3

3

，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2

3

），
∴CM=

(2 3 - 4 3 3 )2+22

=

4 3

3

，
①當(dāng)0＜t≤

4 3

3

時(shí)，
d=

8 3

3

-2t，
②當(dāng)

4 3

3

＜t≤2

3

時(shí)，
d=2t-

8 3

3

，

（3）①∵BC=4，
∴當(dāng)PC=4時(shí)，△PCB為等腰三角形，
d=AC-CP=4

3

-4，
代入d=

8 3

3

-2t，
得4

3

-4=

8 3

3

-2t．
解得t=2-

2 3

3

，
∴當(dāng)t=2-

2 3

3

時(shí)，△PCB為等腰三角形，
②∵y軸垂直平分BC于D，
∴當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，△PCB為等腰三角形，
即t=

8 3

3

÷2=

4 3

3

，
∴使△PCB為等腰三角形的t的值為：2-

2 3

3

或

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是要注意分段討論函數(shù)關(guān)系式．