【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD、BC的中點,E,F分別是線段BM,CM的中點.
(1)求證:BM=CM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)矩形ABCD的長和寬滿足什么條件時,四邊形MENF是正方形?為什么?
【答案】(1)見解析;(2)平行四邊形MENF是菱形,見解析;(3)即當(dāng)AD:AB=2:1時,四邊形MENF是正方形,理由見解析.
【解析】
(1)證明△ABM≌△DCM即可求解
(2)先證明四邊形MENF是平行四邊形,再根據(jù)(1)中的△ABM≌△DCM可得BM=CM,即ME=MF,即可求證平行四邊形MENF是菱形
(3)當(dāng)AD:AB=2:1時,易得∠ABM=∠AMB=45°,∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°,又四邊形MENF是菱形,故可證菱形MENF是正方形,
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠A=∠D=90°,
∵M為AD中點,
∴AM=DM,
在△ABM和△DCM中,
∴△ABM≌△DCM(SAS),
∴BM=CM;
(2)四邊形MENF是菱形.
證明:∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點,
∴NE∥CM,NE=CM,
∵MF=CM,
∴NE=FM,
∵NE∥FM,
∴四邊形MENF是平行四邊形,
由(1)知△ABM≌△DCM,
∴BM=CM,
∵E、F分別是BM、CM的中點,
∴ME=MF,
∴平行四邊形MENF是菱形;
(3)當(dāng)AD:AB=2:1時,四邊形MENF是正方形.
理由:∵M為AD中點,
∴AD=2AM,
∵AD:AB=2:1,
∴AM=AB,
∵∠A=90°
∴∠ABM=∠AMB=45°,
同理∠DMC=45°,
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°,
∵四邊形MENF是菱形,
∴菱形MENF是正方形,
即當(dāng)AD:AB=2:1時,四邊形MENF是正方形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在正方形ABCD中,點E在邊CD上,AQ⊥BE于點Q,DP⊥AQ于點P.
(1)求證:AP=BQ;
(2)在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中四對線段,使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,線段AB在x軸的正半軸上移動,且AB=1,過點A、B作y軸的平行線分別交函數(shù)y1=(x>0)與y2=(x>0)的圖像于C、E和D、F,設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m (m>0).
(1)連接OC、OE,則△OCE面積為 ;
(2)連接CF,當(dāng)m為何值時,四邊形ABFC是矩形;
(3)連接CD、EF,判斷四邊形CDFE能否是平行四邊形,并說明理由;
(4)如圖2,經(jīng)過點B和y軸上點G(0,4)作直線BG交直線AC于點H,若點H的縱坐標(biāo)為正整數(shù),請求出整數(shù)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在等邊三角形ABC中,點E在線段AB上,點D在CB的延長線上,
(1)試證明△DEC是等腰三角形;(2)在圖中找出與AE相等的線段,并證明
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)如圖末-10,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+1與y軸交于點A,與x軸交于點B,點C和點B關(guān)于y軸對稱.
(1)求△ABC內(nèi)切圓的半徑;
(2)過O、A兩點作⊙M,分別交直線AB、AC于點D、E,求證:AD+AE是定值,并求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題.
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根;
(2)寫出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍;
(4)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水渠的橫截面呈拋物線,水面的寬度為AB(單位:米),現(xiàn)以AB所在直線為x軸,以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)坐標(biāo)原點為O.已知AB=8米,設(shè)拋物線解析式為y=ax2﹣4.
(1)求a的值;
(2)點C(﹣1,m)是拋物線上一點,點C關(guān)于原點O的對稱點為點D,連接CD,BC,BD,求△BCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(﹣1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:(1)4a+b=0;(2)9a+c>﹣3b;(3)7a﹣3b+2c>0;(4)若點A(﹣3,y1)、點B(﹣,y2)、點C(7,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<5<x2.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)興趣小組活動中,小明進行數(shù)學(xué)探究活動.將邊長為2的正方形ABCD與邊長為3的正方形AEFG按圖1位置放置,AD與AE在同一條直線上,AB與AG在同一條直線上.
(1)小明發(fā)現(xiàn)DG=BE且DG⊥BE,請你給出證明.
(2)如圖2,小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點B恰好落在線段DG上時,請你幫他求出此時△ADG的面積.
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