Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求sin∠ABC的值；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（4）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)線段EF最長？求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，2），

．

∴解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x2+ x+2=0解得x=﹣1（舍），x=4，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），C（0，2），

BC= =2 ．

∴sin∠ABC=sin∠OBC= =

（3）

解：存在．

∵對稱軸是x= ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ，0），

∴CD= = ．

PD=CD= ，得P（ ， ）或（ ，﹣ ），

PC=CD= ，即P點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于底邊的高對稱，得

D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，即P（ ，4），

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）或（ ，﹣ ），（ ，4）

（4）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n

∵B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，2），

解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2．

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣ x+2），則F點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣﹣ x2+ x+2），

EF=﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）

=﹣ x2+2x

=﹣ （x﹣2）2+2，

當(dāng)x=2時(shí)，EF最長，

∴當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，線段EF最長

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)勾股定理，可得BC的長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案；（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；（4）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．