Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=

1

2

x+4交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，7）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，作PM⊥CD于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的解析式及sin∠PFM的值．
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m：
①若P在CD上方，用含m的代數(shù)式表示線段PM的長，并求出線段PM長的最大值；
②當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）易求C點(diǎn)的坐標(biāo)，再把C和D點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx+c可求出b和c的值則拋物線的解析式可求出；若要求sin∠PFM的值可轉(zhuǎn)化為求sin∠OCE；
（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m²+

13

2

m+4），F(xiàn)（m，

1

2

m+4）．則PF=y_P-y_F=（-m²+

13

2

m+4）-（

1

2

m+4）=-m²+6m，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段PM長的最大值；
②若以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要PF=OC=4，將直線y=

1

2

x+4沿y軸向上或向下平移4個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)，再分別求出即可．

解答：解：（1）C在直線y=

1

2

x+4上，
∴C（0，4）．
∵點(diǎn)C（0，4）、D（6，7）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴

c=4 -36+6b+c=7

，
解得

b= 13 2 c=4

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+

13

2

x+4．
∵PE∥y軸，
∴∠PFM=∠OCE．
∴sin∠PFM=sin∠OCE=

OE

CE

=

8

4 5

=

2 5

5

，
（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m²+

13

2

m+4），F(xiàn)（m，

1

2

m+4）．
∵PF=y_P-y_F=（-m²+

13

2

m+4）-（

1

2

m+4）=-m²+6m，
在Rt△PFM中，PM=PF sin∠PFM=

2 5

5

（-m²+6m），
=-

2 5

5

（m²-6m），
∵-

2 5

5

＜0，當(dāng)m=3時(shí)，PM有最大值是

18 5

5

，
②∵PF∥OC，
若以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要PF=OC=4，
∴將直線y=

1

2

x+4沿y軸向上或向下平移4個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．
由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．
將直線y=

1

2

x+4沿y軸向上平移4個(gè)單位，得到直線y=

1

2

x+8，
聯(lián)立，

y= 1 2 x+8 y=-x2+ 13 2 x+4

，
解得x₁=3-

5

，x₂=3+

5

，∴m₁=3-

5

，m₂=3+

5

；
將直線y=

1

2

x+2沿y軸向下平移4個(gè)單位，得到直線y=

1

2

x，
聯(lián)立

y= 1 2 x y=-x2+ 13 2 x+4

，
解得x₃=3+

13

，x₄=3-

13

（在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），
∴m₃=3+

13

．
∴當(dāng)m為值為3-

5

，3+

5

或3+

13

時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形（或三角函數(shù)）、勾股定理等重要知識點(diǎn)．第（2）問采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解，題目的難度很大，對學(xué)生的解題能力要求很高．