Question

【題目】如圖，直線與x軸、y軸分別交于BC兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN平行于y軸交直線BC于點(diǎn)N，連接AM、BM、AN，求四邊形MANB面積S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)D，若Q為y軸上一點(diǎn)，則在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得以B、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)t＝時(shí)，S四邊形MANB的最大值＝5，此時(shí)點(diǎn)M；（3）P坐標(biāo)為或或．

【解析】

（1）直線與x軸、y軸的交點(diǎn)為B（5，0），C（0，﹣2），代入拋物線解析式可求出a，c的值；

（2）設(shè)點(diǎn)，用含t的代數(shù)式表示四邊形MANB的面積，得到S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)最大值求出t的值；

（3）存在，分BD為平行四邊形的邊或?qū)�角線進(jìn)行分類討論．

解：（1）由x﹣2＝0得x＝5，

∴B（5，0），令x＝0，得y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

由題意得：，

解得，

∴拋物線解析式為 ．

（2）如圖1，設(shè)，

S四邊形MANB＝S△AMN+S△BMN

＝AGMN+BGMN

＝MN（AG+BG）

＝MNAB

＝×4（t2+2t）

∵＜0，

∴當(dāng)t＝時(shí)，S四邊形MANB的最大值＝5，此時(shí)點(diǎn)M．

（3）存在．由為 ，

∴拋物線對(duì)稱軸x＝3．對(duì)稱軸交x軸于F，

①以BD為邊，PQ在BC上方，如圖2，D（3，），F（3，0），

∵四邊形BDQP是平行四邊形，∴BD∥PQ，BD＝PQ，

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸于H，

∴∠PHQ＝∠BFD＝90°，∠PQH＝∠BCO＝∠BDF，

∴△PQH≌△BDF，

∴PH＝BF＝2，HQ＝FD＝，

∴P（2，）．

②以BD為邊，PQ在BC下方，如圖3，仿照①可求得P，

③以BD為平行四邊形對(duì)角線，如圖4，設(shè)BD中點(diǎn)為S，則S，

∵BPDQ是平行四邊形，

∴BD與PQ互相平分，

∴SQ＝SP，

∴S是PQ中點(diǎn)，

設(shè)，

∴，

∴a＝8，

∴P（8， ）

綜上所述，P坐標(biāo)為或或．