【題目】如圖,P(m,n)是拋物線y=﹣+1上任意一點(diǎn),l是過點(diǎn)(0,2)且與x軸平行的直線,過點(diǎn)P作直線PH⊥l,垂足為H,PH交x軸于Q.
(1)(探究)填空:當(dāng)m=0時(shí),OP= ,PH= ;當(dāng)m=4時(shí),OP= ,PH= .
(2)(證明)對任意m,n,猜想OP與PH的大小關(guān)系,并證明你的猜想.
(3)(應(yīng)用)當(dāng)OP=OH,且m≠0時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)1,1,5,5;(2)OP=PH;(3)P(2,﹣2)或(﹣2,﹣2).
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理,可得OP的長,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離,可得可得PH的長;
(2)根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式,可得點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)勾股定理,可得PO的長,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離,可得PH的長;
(3)當(dāng)OP=OH,且m≠0時(shí),由(2)可知△OPH是等邊三角形,進(jìn)而求得∠HOQ=30°,解直角三角形即可求得.
解:(1)當(dāng)m=0時(shí),P(0,1),OP=1,PH=2﹣1=1;
當(dāng)m=4時(shí),y=﹣3,P(4,﹣3),OP==5,PH=2﹣(﹣3)=5,
故答案為:1,1,5,5;
(2)猜想:OP=PH,
證明:PH交x軸與點(diǎn)Q,
∵P在y=﹣x2+1上,
∴設(shè)P(m,﹣m2+1),PQ=|﹣x2+1|,OQ=|m|,
∵△OPQ是直角三角形,
∴OP====m2+1,
PH=2﹣yp=2+m2﹣1=m2+1
OP=PH.
(3)∵OP=PH,
∴當(dāng)OP=OH,三角形OPH是等邊三角形,
∵OQ⊥PH,
∴∠HOQ=30°,
∴OQ=HQ=2,
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±2,
∴P(2,﹣2)或(﹣2,﹣2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】操作:如圖,在正方形 ABCD 中,P 是 CD 上一動點(diǎn)(與 C,D 不重合),使三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn) P 重合,并且一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn) B,另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點(diǎn) E.
(1)根據(jù)操作結(jié)果,畫出符合條件的圖形;
(2)觀察所畫圖形,寫出一個(gè)與△BPC 相似的三角形,并說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn) P 位于 CD 的中點(diǎn)時(shí),直接寫出(2)中兩對相似三角形的相似比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,直線BC的解析式為y=﹣x+6.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M為線段BC上方拋物線上的任意一點(diǎn),連接MB,MC,點(diǎn)N為拋物線對稱軸上任意一點(diǎn),當(dāng)M到直線BC的距離最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo)及MN+NB的最小值;
(3)在(2)中,點(diǎn)M到直線BC的距離最大時(shí),連接OM交BC于點(diǎn)E,將原拋物線沿射線OM平移,平移后的拋物線記為y′,當(dāng)y′經(jīng)過點(diǎn)M時(shí),它的對稱軸與x軸的交點(diǎn)記為H.將△BOE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△BO1E1,再將△BO1E1沿著直線O1H平移,得到△B1O2E2,在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)C,H,B1,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以B1H為邊的菱形.若存在,直接寫出點(diǎn)B1的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,中,于點(diǎn),于點(diǎn),連接.
(1)若,,,求的周長;
(2)如圖2,若,,的角平分線交于點(diǎn),求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,是邊上的一點(diǎn),,交邊于,于,,.
(1)是等腰三角形嗎?請說明理由;
(2)連結(jié),當(dāng) 度時(shí),是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交A(﹣1,0),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E時(shí),求△PCD的面積;
(3)點(diǎn)N在拋物線對稱軸上,點(diǎn)M在x軸上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使以M,N,C,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)(不寫求解過程);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格中,每個(gè)小正方形的邊長都是單位1,△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.
(1)畫出將△ABC向右平移2個(gè)單位得到△A1B1C1.
(2)畫出將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2.
(3)在x軸上找一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)P到點(diǎn)C1與C2距離之和最小,并求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(a<0)圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3,1,與y軸交于點(diǎn)C,下面四個(gè)結(jié)論:
①16a﹣4b+c<0;②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y1>y2;③a=﹣c;④若△ABC是等腰三角形,則b=﹣.其中正確的有______(請將結(jié)論正確的序號全部填上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,經(jīng)過點(diǎn)A(1,);點(diǎn)F(0,1)在y軸上.直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P是(1)中圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M,求證:FM平分∠OFP;
(3)當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo).
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