Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解析式；

(2)經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E時(shí)，求△PCD的面積；

(3)點(diǎn)N在拋物線對稱軸上，點(diǎn)M在x軸上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M，N，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x+2x+3；(2)1;(3)見解析.

【解析】

（1）由點(diǎn) A，C 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn) B 的坐標(biāo)，利用配方法可求出頂點(diǎn) E 的坐標(biāo)，由點(diǎn) B，C 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線 BC 的解析式， 利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到點(diǎn) E 時(shí)△PCD 的面積；(3)設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（1，n），分四邊形 CBMN 為平行四邊形、四邊形 CMNB 為平行四邊形及四邊形 CMBN 為平行四邊形三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于 m 的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）將 A（﹣1，0），C（0，3）代入 y=ax2+2x+c，得：

，解得： ，

∴拋物線的解析式為 y=﹣x2+2x+3．

（2）當(dāng) y=0 時(shí)，有﹣x2+2x+3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3，

∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（3，0）．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（1，4）．

設(shè)過 B，C 兩點(diǎn)的直線解析式為 y=kx+b（k≠0），將 B（3，0），C（0，3）代入 y=kx+b，得：,解得： ，

∴直線 BC 的解析式為 y=﹣x+3．

∵點(diǎn) D 是直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（1，2），

∴DE=2，

∴當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到點(diǎn) E 時(shí)，△PCD 的面積=×2×1=1．

（3）設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（1，n）．分三種情況考慮：

①當(dāng)四邊形 CBMN 為平行四邊形時(shí)，有 1﹣0=m﹣3， 解得：m=4，

∴此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（4，0）；

②當(dāng)四邊形 CMNB 為平行四邊形時(shí)，有 m﹣1=0﹣3， 解得：m=﹣2，

∴此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（﹣2，0）；

③當(dāng)四邊形 CMBN 為平行四邊形時(shí)，有 0﹣1=m﹣3， 解得：m=2，

∴此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（2，0）．

綜上所述：存在這樣的點(diǎn) M 與點(diǎn) N，使以 M，N，C，B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．